موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2025

التّمْرِينُ الأوّلُ : (3 نقاط)

يلي كلّ سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاثة اقتراحات، أحدها فقط يمثّل الإجابة الصحيحة.
أنقل، في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصّحيحة الموافقة له.

1. يمثّل الشكل المقابل مربّعا ⁦ABCD⁩ مركزه النقطة ⁦O⁩ و ⁦M⁩ منتصف [⁦AB⁩].
   إحداثيات النقطة ⁦M⁩ في المعين (⁦O⁩, ⁦B⁩, ⁦C⁩) هي :
   أ) (-⁦1/2⁩, -⁦1/2⁩)

ب) (⁦1/2⁩, -⁦1/2⁩)

ج) (-⁦1/2⁩, ⁦1/2⁩)

[شكل: مربع ⁦ABCD⁩ مركزه ⁦O⁩، والقطران ⁦AC⁩ و ⁦BD⁩ يتقاطعان في ⁦O⁩، والنقطة ⁦M⁩ منتصف الضلع [⁦AB⁩] في الأسفل؛ الرؤوس معنونة ⁦A⁩ أسفل اليسار، ⁦B⁩ أسفل اليمين، ⁦C⁩ أعلى اليمين، ⁦D⁩ أعلى اليسار]

2. عدد أرقام حاصل الجداء ((√2)³)⁶⁷⁵ × (5√2)²⁰²⁵ هو :
   أ) 2024

ب) 2025

ج) 2026

3. نعتبر فيما يلي جدول التّكرارات التراكميّة الصّاعدة للمدّة الزّمنيّة بالسّاعة الّتي يقضيها يوميّا مجموعة من التلاميذ في استعمال الهاتف الجوّال :

المعدّل الحسابي لهذه السّلسلة الإحصائيّة يساوي :
أ) 3,16

ب) 3

ج) 2,5

التّمْرِينُ الثَّانِي : (4 نقاط)

ليكن ⁦b⁩ و ⁦c⁩ عددين حقيقيّين موجبين حيث ⁦b²⁩ = (1 + √5).(-⁦1 + 1/2⁩√5) و ⁦bc = 1⁩.

1. بيّن أنّ ⁦b²⁩ = (3 - √5)/2.
2. بيّن أنّ ⁦c² = 2⁩/(3 - √5) ثمّ استنتج أنّ ⁦c²⁩ = (3 + √5)/2.
3. احسب (⁦b + c⁩)² ثمّ استنتج أنّ ⁦b + c⁩ = √5.
4. أ- بيّن أنّ ⁦bc = c⁩√⁦5 - c²⁩ ثمّ استنتج أنّ ⁦c⁩ = (⁦c² + 1⁩)/√5.
   ب- بيّن أنّ ⁦c⁩ = (1 + √5)/2 ثمّ استنتج أنّ ⁦b⁩ = (-1 + √5)/2.

التّمْرِينُ الثَّالِثُ : (4,5 نقاط)

⁦I⁩. نعتبر العبارة ⁦E = x² + 2x + 6⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.

1. بيّن أنّ ⁦E − 5⁩ = (⁦x+1⁩)² ثمّ حلّ في ℝ المعادلة ⁦E = 21⁩.
2. حلّ في ℝ المتراجحة |⁦x + 1⁩| ≤ 2.

⁦II⁩ . (وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر). ليكن ⁦a⁩ عدد حقيقي موجب قطعا.
في الرسم المقابل لدينا ⁦ABC⁩ مثلث قائم في ⁦B⁩ و ⁦CAD⁩ مثلث قائم في ⁦A⁩
حيث ⁦BC = a⁩ و ⁦AD = a+2⁩ و ⁦AB = 2⁩√2

1. أ- بيّن أنّ ⁦CD² = 2a² + 4a + 12⁩
   ب- أوجد ⁦a⁩ في حالة ⁦CD⁩ = √42
2. أ- بيّن أنّ ⁦CD ≤ 3⁩√2 يعني (⁦a+1⁩)² ≤ 4
   ب- أوجد مجموعة الأعداد الحقيقية ⁦a⁩ حيث ⁦CD ≤ 3⁩√2

[شكل: المثلث ⁦ABC⁩ قائم في ⁦B⁩ مع ⁦AB = 2⁩√2 أفقي و ⁦BC = a⁩ عمودي، والمثلث ⁦CAD⁩ قائم في ⁦A⁩ مع ⁦AD = a+2⁩]

التمرين الرابع : (5 نقاط) (وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر)
في الرسم المقابل لدينا :
● ⁦A⁩ و ⁦B⁩ و ⁦C⁩ ثلاث نقاط من المستوي حيث ⁦AB = 4⁩ و ⁦AC = 6⁩ و ⁦BÂC = 60°⁩.
● النقطة ⁦E⁩ مناظرة ⁦A⁩ بالنسبة إلى ⁦B⁩.
● ⁦F⁩ نقطة من [⁦AC⁩] حيث ⁦AF = 4⁩

1. أ- بيّن أنّ ⁦BAF⁩ مثلث متقايس الأضلاع.
   ب- بيّن أنّ المثلث ⁦AFE⁩ قائم في ⁦F⁩ ثم استنتج أنّ ⁦EF = 4⁩√3.
2. المستقيم الموازي لـ (⁦BF⁩) والمار من ⁦C⁩ يقطع [⁦BE⁩] في نقطة ⁦M⁩ ويقطع [⁦EF⁩] في نقطة ⁦N⁩.
   أ- بيّن أنّ ⁦M⁩ منتصف [⁦BE⁩].
   ب- استنتج أنّ ⁦N⁩ منتصف [⁦EF⁩].
3. ليكن ⁦G⁩ منتصف [⁦BF⁩]. المستقيم (⁦AG⁩) يقطع [⁦MC⁩] في نقطة ⁦P⁩.
   أ- بيّن أنّ ⁦AG/AP = 2/3⁩.
   ب- بيّن أنّ ⁦AM = AC⁩.
   ج- استنتج أنّ النقطة ⁦G⁩ هي مركز ثقل المثلث ⁦MAC⁩.
4. بيّن أنّ الرباعي ⁦BGNM⁩ معيّن ثمّ أحسب مساحته.

[شكل: نصف مستقيم [⁦AC⁩] أفقي عليه ⁦F⁩، ونصف مستقيم من ⁦A⁩ بزاوية 60° عليه ⁦B⁩ ثمّ ⁦E⁩]

التمرين الخامس : (3,5 نقاط) (وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر)
في الرسم المقابل لدينا ⁦SABCD⁩ هرم قاعدته المربّع ⁦ABCD⁩ الذي مركزه ⁦O⁩.
⁦SDC⁩ مثلث متقايس الأضلاع و ⁦I⁩ منتصف [⁦SC⁩].
⁦SBC⁩ مثلث قائم في ⁦C⁩ بحيث ⁦BC = 4⁩ و ⁦SB = SA = 4⁩√2.

1. بيّن أنّ ⁦DI = 2⁩√3.
2. بيّن أنّ ⁦OD = OI = 2⁩√2 ثم استنتج أنّ المثلث ⁦DIB⁩ قائم الزاوية في ⁦I⁩.
3. بيّن أنّ (⁦DI⁩) عمودي على (⁦SCB⁩).
4. لتكن ⁦J⁩ منتصف [⁦BC⁩] و ⁦K⁩ منتصف [⁦DJ⁩].
   المستقيم العمودي على (⁦SCB⁩) في النقطة ⁦J⁩ يقطع المستقيم (⁦IK⁩) في نقطة ⁦P⁩.
   بيّن أنّ ⁦K⁩ منتصف [⁦IP⁩].

[شكل: هرم ⁦SABCD⁩ قاعدته المربّع ⁦ABCD⁩ ومركزه ⁦O⁩، والحرف [⁦SC⁩] عمودي على (⁦BC⁩) مع زاوية قائمة في ⁦C⁩؛ ⁦I⁩ منتصف [⁦SC⁩]، مع القطع [⁦DI⁩] و[⁦OI⁩] و[⁦DB⁩] و[⁦AC⁩]]