موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2024

التمرين الأوّل: (3 نقاط)
يلي كلّ سؤال ثلاثة اقتراحات، أحدها فقط يمثّل الإجابة الصّحيحة.
أنقل، في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك رقم السّؤال والإجابة الصّحيحة الموافقة له.

1. يحتوي صندوق على 30 كرة متشابهة ومرقّمة من 1 إلى 30. نسحب بصفة عشوائية كرة واحدة من الصندوق.
   علما أنّ مجموعة قواسم 34 هي {1;2;17;34} ، فإنّ احتمال أن يكون رقم الكرة المسحوبة من قواسم 34 هو:
   أ) ⁦1/30⁩

ب) ⁦1/4⁩

ج) ⁦1/10⁩ 2) العدد ⁦6 − 24×10²⁩⁴ يقبل القسمة على:
أ) 15

ب) 9

ج) 12 3) ليكن (⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩) معينا متعامدا في المستوي. إذا كانت ⁦A⁩' مناظرة النقطة ⁦A⁩(1/(1+√2), 2√2) بالنسبة إلى (⁦OJ⁩) فإنّ:
أ) ⁦A⁩'(−1+√2, 2√2)

ب) ⁦A⁩'(1−√2, 2√2)

ج) ⁦A⁩'(−1+√2, −2√2)

التمرين الثّاني: (3,5 نقاط)

نعتبر العددين الحقيقيين ⁦a⁩ = √(⁦197 − 42⁩√22) و ⁦b = 27⁩/(√11 + √2) + 2√50

1. أ- قارن 7√2 و 3√11
   ب- تحقق أنّ (7√⁦2 − 3⁩√11)² = ⁦197 − 42⁩√22
   ج- استنتج أنّ ⁦a = 3⁩√⁦11 − 7⁩√2
2. احسب (√11 − √2) × (√11 + √2) ثمّ استنتج أنّ ⁦b = 3⁩√⁦11 + 7⁩√2
3. أ- بيّن أنّ العددين ⁦a⁩ و ⁦b⁩ مقلوبان.
   ب- استنتج أنّ ⁦0 < a < 1⁩
   ج- بيّن إذن أنّ ⁦197 + 7⁩√⁦2 < 3⁩√⁦11 + 42⁩√22

التّمرين الثّالث: (4,5 نقاط)

1. ليكن ⁦x⁩ عددا حقيقيا.
   أ- بيّن أنّ ⁦x² + x⁩√⁦2 − 4⁩ = (⁦x⁩ − √2) × (⁦x + 2⁩√2)
   ب- حلّ في ℝ المعادلة ⁦x² + x⁩√⁦2 − 4 = 0⁩

2. نعتبر العبارة ⁦T = x² + x⁩√⁦2 − 9⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
   أ- احسب العبارة ⁦T⁩ في حالة ⁦x⁩ = −√2
   ب- ليكن ⁦x⁩ عددا من المجال ]−3, −1[ بيّن أنّ ⁦T⁩ < −√2
   ج- جد مجموعة الأعداد الحقيقية ⁦x⁩ من المجال ]−3, −1[ التي تحقق |⁦x² + x⁩√⁦2 − 9⁩| = 5

3. أ- بيّن أنّ مجموعة الأعداد الحقيقية ⁦x⁩ بحيث $\left|x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right|<\frac{1}{\sqrt{2}}$ هي المجال $\left]-\sqrt{2},0\right[$
   ب- بيّن أنّ $T={\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2-\frac{19}{2}$
   ج- استنتج مجموعة الأعداد الحقيقية ⁦x⁩ التي تحقق $T<-9$

التّمرين الرّابع: (4.5 نقاط) ( وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر ).
نعتبر متوازي المستطيلات ⁦ABCDEFGH⁩ حيث $AD=3\sqrt{3}$ و $AB=6$ و $AE=4$
لتكن ⁦M⁩ منتصف [⁦GH⁩]

1. أ- بيّن أنّ $EM=6$
   ب- بيّن أنّ المثلث ⁦EFM⁩ متقايس الأضلاع.
2. لتكن النقطة ⁦I⁩ منتصف [⁦EM⁩]
   أ- احسب ⁦FI⁩
   ب- بيّن أنّ المثلث ⁦AEM⁩ قائم الزاوية في ⁦E⁩
   ج- احسب إذن ⁦AI⁩
   د- استنتج أنّ المثلث ⁦AFI⁩ قائم الزاوية في ⁦I⁩
3. بيّن أنّ المستقيم (⁦FI⁩) عمودي على المستوي (⁦AEM⁩)
4. لتكن النقطة ⁦J⁩ منتصف [⁦AM⁩]
   أ- بيّن أنّ المستقيمين (⁦IJ⁩) و (⁦BF⁩) متوازيان.
   ب- بيّن إذن أنّ المستويين (⁦AEM⁩) و (⁦BFI⁩) يتقاطعان وفق المستقيم (⁦IJ⁩)

[شكل: متوازي مستطيلات: الوجه الأمامي ⁦ADHE⁩ (⁦A⁩ أعلى اليسار، ⁦D⁩ أعلى اليمين، ⁦H⁩ أسفل اليمين، ⁦E⁩ أسفل اليسار)، والوجه الخلفي ⁦BCGF⁩ (⁦B⁩ خلف ⁦A⁩، ⁦C⁩ خلف ⁦D⁩، ⁦G⁩ خلف ⁦H⁩، ⁦F⁩ خلف ⁦E⁩)؛ ⁦M⁩ منتصف [⁦GH⁩]، مع القطع [⁦AF⁩] و[⁦AM⁩] و[⁦EM⁩] و[⁦FM⁩] بخطوط متقطّعة]، مع رسم القطع [⁦EM⁩]، [⁦FI⁩]، [⁦AI⁩]، [⁦AM⁩]، [⁦IJ⁩] بخطوط متقطعة]

التّمرين الخامس: (4.5 نقاط) ( وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر ).
في الرسم المقابل لدينا:
• ⁦ABCD⁩ مستطيل حيث $AB=5$ و $AD=4$
• ⁦M⁩ و ⁦N⁩ نقطتان من [⁦AD⁩] حيث $x=DN=AM$ و $x\in ]0,2[$
• ⁦P⁩ نقطة من [⁦DC⁩] حيث $x=PC$ و ⁦Q⁩ المسقط العمودي لـ ⁦P⁩ على (⁦AB⁩)

1. لتكن ⁦S⁩ مساحة شبه المنحرف ⁦MNPQ⁩
   أ- بيّن أنّ $S=(4-x)(5-x)$
   ب- بيّن أنّ $(4-x)(5-x)=12+(x-1)(x-8)$
   ج- أوجد إذن ⁦x⁩ حيث $S=12$
   في ما يلي من التمرين نعتبر أنّ $x=1$
2. المستقيمان (⁦MQ⁩) و (⁦NP⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦O⁩
   أ- بيّن أنّ ⁦M⁩ منتصف [⁦OQ⁩]
   ب- لتكن ⁦H⁩ منتصف [⁦MN⁩]. بيّن أنّ المستقيمين (⁦OH⁩) و (⁦MN⁩) متعامدان.
3. المستقيمان (⁦MP⁩) و (⁦OH⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦G⁩
   أ- بيّن أنّ ⁦G⁩ مركز ثقل المثلث ⁦OPQ⁩
   ب- لتكن ⁦H⁩' المسقط العمودي للنقطة ⁦G⁩ على المستقيم (⁦AQ⁩)
   بيّن أنّ $AQ=3A{H}^{\prime }$ واستنتج إحداثيات النقطة ⁦G⁩ في المعيّن (⁦A⁩, ⁦D⁩, ⁦Q⁩)

[شكل: مستطيل ⁦ABCD: A⁩ أسفل اليسار، ⁦B⁩ أعلى اليسار، ⁦C⁩ أعلى اليمين، ⁦D⁩ أسفل اليمين؛ ⁦M⁩ و ⁦N⁩ على [⁦AD⁩] مع ⁦AM = DN = x⁩، ⁦P⁩ على [⁦DC⁩] مع ⁦PC = x⁩، ⁦Q⁩ على [⁦AB⁩] مع (⁦QP⁩) أفقي؛ شبه المنحرف ⁦MNPQ⁩] مع ⁦AM = x⁩ و ⁦DN = x⁩، النقطة ⁦P⁩ على [⁦DC⁩] مع ⁦PC = x⁩، النقطة ⁦Q⁩ على [⁦AB⁩]، ورسم القطع [⁦MN⁩] و [⁦NP⁩] و [⁦PQ⁩] و [⁦QM⁩] لتشكيل شبه المنحرف ⁦MNPQ⁩]