موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2023

التَّمرين الأوّل : ( 3 نقاط )
يلي كلّ سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة.
أَنقل، في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك رقم السّؤال والإجابة الصّحيحة الموافقة له.

1. مجموعة حلول المعادلة ⁦1 − 2⁩|⁦x⁩| = −5 في ℝ هي :
   أ) ∅

ب) {−3,3}

ج) {3}

2. ⁦a⁩ و ⁦b⁩ رقمان. إذا كان العدد ⁦9b2a⁩ يقبل القسمة على 4 وعلى 5 وعلى 9 في آن واحد فإنّ :
   أ) ⁦b=3⁩

ب) ⁦b=7⁩

ج) ⁦b = 8⁩

3. في الرّسم التّالي ⁦ABCD⁩ متوازي الأضلاع حيث ⁦E⁩ منتصف [⁦BC⁩] و ⁦C⁩ منتصف [⁦EF⁩].
   إحداثيّات النّقطة ⁦A⁩ في المعيّن (⁦C⁩, ⁦F⁩, ⁦D⁩) هي :
   أ) (−1,1)

ب) (2,1)

ج) (−2,1)

[شكل: متوازي أضلاع ⁦ABCD⁩ فيه ⁦E⁩ منتصف [⁦BC⁩] و ⁦C⁩ منتصف [⁦EF⁩]، ⁦A⁩ أعلى اليسار و ⁦D⁩ أعلى اليمين، و ⁦B⁩ ثمّ ⁦E⁩ ثمّ ⁦C⁩ ثمّ ⁦F⁩ على مستقيم أفقي في الأسفل]

التَّمرين الثّاني : ( 4 نقاط )
نعتبر العددين الحقيقيّين : ⁦a = 8 − 4⁩√⁦3 + 4⁩(1 − √3)² و ⁦b⁩ = (4+√12)/24

1. أ) بيّن أنّ ⁦a = 12⁩(2 − √3) و ⁦b⁩ = (2+√3)/12
   ب) بيّن أنّ ⁦a⁩ و ⁦b⁩ عددان مقلوبان.
   ج) بيّن أنّ ⁦3 < 2⁩ + √⁦3 < 4⁩ واستنتج حصرا للعدد ⁦b⁩
   د) بيّن أنّ ⁦a⁩ ∈ ]3,4[
2. حلّ في ℝ المتراجحة |⁦2x − 7⁩| < 1
3. بيّن أنّ |⁦a − 3⁩| + |⁦a − 4⁩| − (⁦2a − 7⁩)² > 0

التَّمرين الثّالث : ( 6 نقاط )

1. نعتبر العبارة ⁦F = −4x²+5x⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقيّ.
   أ) أحسب القيمة العدديّة للعبارة ⁦F⁩ في حالة ⁦x = 1/2⁩
   ب) بيّن أنّ ⁦F − 3/2 = −4⁩(⁦x − 1/2⁩)(⁦x − 3/4⁩)
   ج) جد مجموعة الأعداد الحقيقيّة ⁦x⁩ حيث ⁦F = 3/2⁩

2. (وحدة قيس الطّول هي السّنتمتر). في الرّسم المقابل لدينا :
   • مثلث ⁦HAB⁩ قائم في ⁦H⁩ حيث ⁦AH = 1⁩ و ⁦BH = 2⁩ و ⁦I⁩ منتصف [⁦BH⁩].
   • ⁦M⁩ نقطة من [⁦AH⁩] مخالفة لـ ⁦A⁩ و ⁦H⁩.
   • المستقيم المار من ⁦M⁩ والموازي لـ (⁦BH⁩) يقطع [⁦AI⁩] في النّقطة ⁦J⁩ و [⁦AB⁩] في النّقطة ⁦N⁩.
   أ) بيّن أنّ ⁦AJ/AI = NJ/BI⁩ وأنّ ⁦AJ/AI = JM/IH⁩
   ب) إستنتج أنّ ⁦J⁩ منتصف [⁦MN⁩].
   ج) بيّن أنّ المثلث ⁦MAJ⁩ قائم الزّاوية في ⁦M⁩ ومتقايس الضّلعين.
   د) إستنتج أنّ ⁦MN = 2MA⁩

3. المستقيم المار من ⁦A⁩ والعمودي على (⁦AB⁩) يقطع (⁦BH⁩) في النّقطة ⁦C⁩.
   ليكن ⁦HM = a⁩ حيث ⁦a⁩ عدد حقيقي ينتمي للمجال ]0,1[ و ⁦S⁩ مساحة الرّباعي ⁦NHCM⁩.
   أ) بيّن أنّ ⁦MN = 2⁩(⁦1 - a⁩) وأنّ ⁦HC = 1/2⁩
   ب) بيّن أنّ ⁦S = 1/4⁩(-⁦4a² + 5a⁩)
   ج) جد قيم العدد ⁦a⁩ حيث ⁦S = 3/8⁩
   د) ما هي طبيعة الرّباعي ⁦NHCM⁩ في حالة ⁦a = 3/4⁩ ؟

التَّمرين الرابع : ( 3 نقاط )
(وحدة قيس الطّول هي السّنتمتر). في الرّسم المقابل لدينا هرم ⁦SABC⁩ حيث :
• مثلث ⁦ABC⁩ متقايس الأضلاع و ⁦I⁩ منتصف [⁦BC⁩].
• (⁦SI⁩) عمودي على المستوي (⁦ABC⁩).
• ⁦SI⁩ = √11 و ⁦AB = 2⁩

1. بيّن أنّ المستقيم (⁦SI⁩) عمودي على المستقيم (⁦BI⁩) واستنتج أنّ ⁦SB = 2⁩√3
2. بيّن أنّ المستقيم (⁦AI⁩) عمودي على المستوي (⁦SBC⁩).
3. لتكن النّقطة ⁦J⁩ منتصف [⁦SB⁩].
   أ) بيّن أنّ المثلث ⁦AIJ⁩ قائم في ⁦I⁩ ومتقايس الضّلعين.
   ب) أحسب ⁦AJ⁩.

التَّمرين الخامس : ( 4 نقاط )
(وحدة قيس الطّول هي السّنتمتر). في الرّسم المقابل لدينا :
مثلث ⁦ABC⁩ قائم الزّاوية في ⁦A⁩ ، ⁦I⁩ منتصف [⁦BC⁩] ، ⁦J⁩ مناظرة ⁦I⁩ بالنّسبة إلى (⁦AC⁩) و ⁦D⁩ مناظرة ⁦C⁩ بالنّسبة إلى ⁦A⁩.

1. أ) بيّن أنّ ⁦IA=IC⁩
   ب) بيّن أنّ الرّباعي ⁦AICJ⁩ معيّن.
2. المستقيم (⁦DI⁩) يقطع [⁦AB⁩] في النّقطة ⁦G⁩.
   المستقيم (⁦AJ⁩) يقطع [⁦DB⁩] في النّقطة ⁦K⁩.
   أ) بيّن أنّ ⁦G⁩ مركز ثقل المثلث ⁦DBC⁩
   ب) استنتج أنّ النّقاط ⁦C⁩ و ⁦G⁩ و ⁦K⁩ على استقامة واحدة.
3. أ) بيّن أنّ النّقطة ⁦A⁩ منتصف [⁦JK⁩].
   ب) استنتج أنّ ⁦G⁩ مركز ثقل المثلث ⁦JKB⁩.
4. لتكن النّقطة ⁦O⁩ منتصف [⁦BJ⁩].
   أ) بيّن أنّ النّقاط ⁦C⁩ و ⁦O⁩ و ⁦G⁩ على استقامة واحدة.
   ب) بيّن أنّ : ⁦GC = 4GO⁩