موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2022

التمرين الأوّل : (3 نقاط)
يلي كل سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاثة مقترحات للإجابة، أحدها فقط صحيح.
أنقل، في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصّحيحة الموافقة له.

1. إذا كان مربّع طول قطره 2√5+√2 فإنّ طول ضلعه يساوي :
   أ) √⁦5+2⁩

ب) √⁦10+1⁩

ج) √5+(√2)/2 2) مجموعة حلول المتراجحة ⁦1−3⁩|⁦x⁩| ≥ −14 في ⁦IR⁩ هي :
أ) ]−∞,−5]∪[5,+∞[

ب) [0,5]

ج) [−5,5] 3) إذا كان ⁦x⁩ = √⁦3−2⁩ فإنّ العدد √(⁦7−4⁩√3) يساوي :
أ) −⁦x/2⁩

ب) −⁦x⁩

ج) ⁦x⁩

التمرين الثاني : (3.5 نقاط)

نعتبر العددين الحقيقيين ⁦a⁩ = (16+√5−(√⁦5+2⁩)²)/2 و ⁦b⁩ = (⁦5+3⁩√5)/10.

1. أ) أثبت أنّ ⁦a⁩ = (⁦7−3⁩√5)/2.
   ب) قارن 7 و 3√5 ثم أثبت أنّ ⁦a⁩ عدد موجب.
2. أ) بيّن أنّ ⁦b⁩ و ⁦1−a⁩ عددان مقلوبان.
   ب) استنتج أنّ ⁦a<1⁩.
   ج) بيّن أنّ ⁦1−a²⁩ عدد موجب.
   د) بيّن أنّ ⁦a⁩ + √(2|⁦a−1⁩| − |⁦a²−1⁩|) = 1.

التمرين الثالث : (3.5 نقاط)

ليكن (⁦O⁩, ⁦I⁩, ⁦J⁩) معيّنا في المستوي حيث (⁦OI⁩)⊥(⁦OJ⁩) و ⁦OI=OJ=1⁩.
نعتبر النقاط ⁦A⁩(3,0) و ⁦B⁩(0,4) و ⁦C⁩(0,−2).
المستقيم المارّ من ⁦I⁩ والعمودي على (⁦OA⁩) يقطع [⁦AJ⁩] في نقطة ⁦G⁩.

1. أ) بيّن أنّ (⁦IG⁩)//(⁦OJ⁩).
   ب) بيّن أنّ ⁦IG/AO = AG/AJ = IG/OJ⁩ واستنتج أنّ ⁦AG⁩ = (⁦2/3⁩)⁦AJ⁩.
2. بيّن أنّ ⁦J⁩ منتصف [⁦BC⁩] وأنّ ⁦G⁩ مركز ثقل المثلث ⁦ABC⁩.
3. المستقيم (⁦BG⁩) يقطع (⁦AC⁩) في نقطة ⁦K⁩، أوجد إحداثيات النقطة ⁦K⁩.
4. بيّن أنّ مساحة المثلث ⁦ABK⁩ تساوي ⁦9/2⁩.

[شكل: معلم متعامد ومتجانس في المستوي، المحور الأفقي عليه النقطتان ⁦O⁩ و ⁦I⁩ والمحور العمودي عليه النقطتان ⁦J⁩ و ⁦B⁩، والنقطة ⁦A⁩ على المحور الأفقي يمين ⁦I⁩، والنقطة ⁦C⁩ أسفل ⁦O⁩. يظهر قائم قائم في ⁦O⁩ وفيه المستقيم المارّ من ⁦I⁩ والعمودي على المحور الأفقي مواز لـ (⁦OJ⁩).]

التمرين الرابع : (5 نقاط)

1. لتكن العبارة ⁦E = x² - 4x + 16⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
   أ) بيّن أن ⁦E - 13⁩ = (⁦x - 1⁩)(⁦x - 3⁩).
   ب) جدّ مجموعة الأعداد الحقيقية ⁦x⁩ حيث ⁦E = 13⁩.

2. (وحدة قيس الطول هي الصّنتمتر). في الرّسم المقابل لدينا :
   • ⁦OAB⁩ مثلث متقايس الأضلاع حيث ⁦OA = 4⁩.
   • ⁦a⁩ عدد حقيقي ينتمي إلى المجال ]0 , 2] و ⁦M⁩ نقطة من [⁦OA⁩] و ⁦N⁩ نقطة من [⁦AB⁩] حيث ⁦OM = AN = a⁩.
   لتكن ⁦S⁩ مساحة الرباعي ⁦OMNB⁩.
   أ) لتكن ⁦H⁩ المسقط العمودي لـ ⁦N⁩ على [⁦OA⁩] و ⁦K⁩ النقطة من [⁦OA⁩] حيث ⁦AK = AN⁩.
   بيّن أنّ المثلث ⁦AKN⁩ متقايس الأضلاع واستنتج البعد ⁦NH⁩ بدلالة ⁦a⁩.
   ب) بيّن أنّ مساحة المثلث ⁦AMN⁩ تساوي ⁦a⁩(⁦4 - a⁩)√⁦3 / 4⁩.
   ج) احسب مساحة المثلث ⁦OAB⁩ واستنتج أنّ ⁦S⁩ = √⁦3/4⁩ (⁦a² - 4a + 16⁩).
   د) بيّن أنّ ⁦S⁩ = √⁦3/4⁩ [(⁦a - 2⁩)² + 12] واستنتج أنّ ⁦S ≥ 3⁩√3.

3. جدّ العدد الحقيقي ⁦a⁩ حيث ⁦S = 13⁩√⁦3 / 4⁩.

التمرين الخامس : 5 نقاط) (وحدة قيس الطول هي الصّنتمتر).

في الرسم المقابل لدينا :
➢ دائرة 𝒞 قطرها [⁦AB⁩] ومركزها ⁦O⁩ حيث ⁦AB = 10⁩ ،
➢ ⁦H⁩ نقطة من [⁦AB⁩] حيث ⁦AH = 1⁩ ،
➢ المستقيم المار من النقطة ⁦H⁩ والعمودي على (⁦AB⁩) يقطع الدائرة 𝒞 في نقطتين ⁦F⁩ و ⁦C⁩.

1. أ) بيّن أنّ المثلث ⁦ABC⁩ قائم الزاوية في النقطة ⁦C⁩ وأنّ ⁦HC = 3⁩.
   ب) بيّن أنّ ⁦H⁩ منتصف [⁦FC⁩].
2. المستقيم المار من ⁦O⁩ والعمودي على (⁦BC⁩) يقطع [⁦BC⁩] في نقطة ⁦K⁩.
   لتكن ⁦S⁩ النقطة من نصف المستقيم [⁦KO⁩] حيث ⁦OS = 2OK⁩.
   بيّن أنّ ⁦K⁩ منتصف [⁦BC⁩] وأنّ ⁦O⁩ مركز ثقل المثلث ⁦CBS⁩.
3. المستقيم (⁦CO⁩) يقطع الدائرة 𝒞 في نقطة ثانية ⁦E⁩.
   أ) بيّن أنّ الرباعي ⁦ACBE⁩ مستطيل ثمّ استنتج أنّ ⁦OBES⁩ متوازي أضلاع.
   ب) أثبت أن النقاط ⁦E⁩ و ⁦S⁩ و ⁦F⁩ على استقامة واحدة.
   ج) أثبت أنّ ⁦FS = 3⁩.
4. احسب مساحة الرباعي ⁦OHFS⁩.

[شكل: في أعلى الصفحة مثلث ⁦OAB⁩ متقايس الأضلاع، النقطة ⁦M⁩ على [⁦OA⁩] والنقطة ⁦N⁩ على [⁦AB⁩]، والرباعي ⁦OMNB⁩ مظلل بالرمادي.
في أسفل الصفحة دائرة 𝒞 مركزها ⁦O⁩ وقطرها [⁦AB⁩]، النقطة ⁦H⁩ على [⁦AB⁩]، المستقيم العمودي على (⁦AB⁩) في ⁦H⁩ يقطع الدائرة في ⁦F⁩ و ⁦C⁩، والنقطة ⁦E⁩ أسفل الدائرة على استقامة (⁦CO⁩).]