موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2021

التمْرينُ الأوّلُ : (3 نقاط)
يلي كلّ سؤال من أسئلة هذا التمْرين ثلاثة مقترحات للإجابة، أحدها فقط صحيح.
أنقل، في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك رقم السُّؤال والإجابة الصّحيحة الموافقة له.

1. إذا كان $a=\sqrt{3}(\sqrt{3}-4)+|1-3\sqrt{3}|$ فإنّ :
   أ) $a=2-\sqrt{3}$

ب) $a=3\sqrt{3}-2$

ج) $a=4-7\sqrt{3}$

2. ليكن $(O,I,J)$ معيّنا متعامدا في المستوي حيث $OI=OJ=1$
   نعتبر النقطتين $A(0,\sqrt{3})$ و $B(0,-\sqrt{3})$ ، لدينا :
   أ) $AB=0$

ب) $AB=3$

ج) $AB=2\sqrt{3}$

3. العدد $11111111^2-16$ يقبل القسمة على :
   أ) 9

ب) 12

ج) 15

التمْرينُ الثّاني : (4 نقاط)

نعتبر العددين الحقيقيّين $a=\frac{12-\sqrt{63}}{9}$ و $b=\frac{16+\sqrt{112}}{12}$

1. أ) بيّن أنّ $a=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$ و $b=\frac{4+\sqrt{7}}{3}$
   ب) بيّن أنّ $a$ هو مقلوب $b$ واستنتج علامة العدد $a$
   ج) بيّن أنّ $a<1<b$

2. أ) تحقّق أنّ $\frac{a}{a-1}+\frac{b}{b-1}=\frac{4-\sqrt{7}}{1-\sqrt{7}}+\frac{4+\sqrt{7}}{1+\sqrt{7}}$
   ب) بيّن أنّ $\frac{a}{a-1}+\frac{b}{b-1}=\frac{2ab-(a+b)}{ab-(a+b)+1}$
   ج) استنتج أنّ $\frac{4-\sqrt{7}}{1-\sqrt{7}}+\frac{4+\sqrt{7}}{1+\sqrt{7}}$ عدد صحيح طبيعي.

التمْرينُ الثّالث : (5.5 نقاط) (

وحدة قيس الطّول هي الصّنتمتر).
ليكن $(O,I,J)$ معيّنا متعامدا في المستوي حيث : $OI=OJ=1$
نعتبر النقطتين $A(2,4)$ و $B(2,0)$ من المستوي.

1. أ) بيّن أنّ المثلث $OAB$ قائم الزّاوية في $B$
   ب) بيّن أنّ $OA=2\sqrt{5}$
2. لتكن النقطة $C$ مناظرة النّقطة $B$ بالنسبة إلى النّقطة $O$
   و $K$ نقطة تقاطع المستقيمين $(AC)$ و $(OJ)$
   أ) حدّد إحداثيات النّقطة $C$
   ب) بيّن أنّ $K$ منتصف $[AC]$
   ج) استنتج إحداثيات النّقطة $K$

[شكل: معلم متعامد متجانس $(O,I,J)$ مع نقطة $A$ أعلى اليمين ونقطتي $I$ و$B$ على محور الفواصل و$J$ على محور الأراتيب]

3. المستقيم (⁦BJ⁩) يقطع المستقيم (⁦OA⁩) في نقطة ⁦M⁩
   أ) بيّن أنّ ⁦BJ⁩ = √5
   ب) بيّن أنّ ⁦MJ/MB = MO/MA = 1/4⁩
   ج) بيّن أنّ ⁦MB = 4/5 BJ⁩ و ⁦MO = 1/5 OA⁩
   د) أحسب ⁦MO⁩ و ⁦MB⁩ ثم بيّن أنّ المثلث ⁦OMB⁩ قائم الزّاوية في النقطة ⁦M⁩

4. لتكن ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦M⁩ على (⁦OB⁩)
   أ) بيّن أنّ ⁦MH = 4/5⁩
   ب) أحسب ⁦OH⁩
   ج) استنتج احداثيات النقطة ⁦M⁩

[شكل: رسم هندسي يمثل مثلثا ⁦OAB⁩ فيه النقطة ⁦I⁩ رأس أعلى، النقطة ⁦M⁩ على [⁦AB⁩]، النقطة ⁦J⁩ تقاطع (⁦IM⁩) مع (⁦By⁩)، الزاوية عند ⁦B⁩ قيسها 60°، مستقيم ⁦y⁩ مار بـ ⁦J⁩]

التمرين الرابع : (4 نقاط)

نعتبر العبارة ⁦E = 3x² - 40x + 100⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.

1. أ) أحسب القيمة العددية لـ ⁦E⁩ في الحالة ⁦x = 10/3⁩
   ب) بيّن أنّ ⁦E⁩ = (⁦3x - 10⁩)(⁦x - 10⁩)
   ج) استنتج مجموعة الأعداد الحقيقية ⁦x⁩ حيث ⁦E = 0⁩
2. (وحدة قيس الطّول هي الصّنتمتر). في الرّسم المقابل لدينا :
   • ⁦AB = 5⁩ قطعة مستقيم حيث [⁦AB⁩]
   • ⁦M⁩ نقطة من [⁦AB⁩] مختلفة عن ⁦A⁩ و ⁦B⁩ حيث ⁦AM = a⁩ و ⁦a⁩ عدد حقيقي و ⁦0 < a < 5⁩
   • ⁦I⁩ نقطة من المستوي حيث ⁦MAI⁩ مثلث متقايس الأضلاع.
   • [⁦By⁩) نصف مستقيم حيث ⁦ABy = 60°⁩
   • ⁦J⁩ نقطة تقاطع (⁦IM⁩) و (⁦By⁩)
   أ) بيّن أنّ المثلث ⁦MBJ⁩ متقايس الأضلاع.
   ب) ليكن ⁦S⁩₁ قيس مساحة المثلث ⁦MAI⁩ و ⁦S⁩₂ قيس مساحة المثلث ⁦MBJ⁩
   أحسب ⁦S⁩₁ و ⁦S⁩₂ بدلالة ⁦a⁩ ثم بيّن أنّ ⁦4S⁩₂ - ⁦S⁩₁ = √⁦3/4⁩ (⁦3a² - 40a + 100⁩)
   ج) استنتج ⁦a⁩ علما أنّ ⁦S⁩₂/⁦S⁩₁ = ⁦1/4⁩

[شكل: رسم هندسي في المستوي المزوّد بمعلم، مثلث ⁦MAI⁩ متقايس الأضلاع، نصف مستقيم [⁦By⁩) بزاوية 60°، النقطة ⁦J⁩ تقاطع، مستقيم ⁦y⁩]

التمرين الخامس : (3,5 نقاط) (

وحدة قيس الطّول هي الصّنتمتر).
نعتبر الرّسم التّالي حيث :
• ⁦ABC⁩ مثلث متقايس الضّلعين وقائم الزّاوية في ⁦A⁩ و ⁦AB = AC = 2⁩
• Δ المستقيم المار من ⁦C⁩ والعمودي على (⁦AC⁩)
• منصّف الزّاوية ⁦ABC⁩ يقطع (⁦AC⁩) في نقطة ⁦D⁩ ويقطع Δ في نقطة ⁦M⁩

1. أ) بيّن أنّ المستقيمين (⁦AB⁩) و (⁦MC⁩) متوازيان.
   ب) استنتج أنّ ⁦DB/DM = DA/DC = BA/MC⁩
2. أ) بيّن أنّ ⁦CMB = ABM⁩ واستنتج أنّ المثلث ⁦BCM⁩ متقايس الضّلعين.
   ب) بيّن إذن أنّ ⁦DA/DC = 1⁩/√2
3. بيّن أنّ ⁦DA = 2⁩(√⁦2 - 1⁩)

[شكل: رسم هندسي يمثل مثلثا ⁦ABC⁩ قائم الزاوية في ⁦A⁩، النقطة ⁦D⁩ على [⁦AC⁩]، المستقيم Δ المار من ⁦C⁩، والنقطة ⁦M⁩ على Δ، والمستقيم ⁦BM⁩ منصف الزاوية]

⁦2/2⁩