موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2018

التمرين الأوّل (3 نقاط)
يلي كلّ سؤال ثلاث إجابات، واحدة منها فقط صحيحة.
أكتب على ورقة تحريرك رقم السّؤال والإجابة الصّحيحة الموافقة له.
(1) ليكن (⁦O⁩, ⁦I⁩, ⁦J⁩) معيّنا في المستوي والنقاط ⁦A⁩(1, −1) و ⁦B⁩(3, 2) و ⁦C⁩(1, 1).
إذا كان ⁦ABCD⁩ متوازي أضلاع، فإنّ إحداثيات النقطة ⁦D⁩ هي :
أ) (−2, −1)

ب) (−1, −2)

ج) (−2, −3)
(2) يمثّل الجدول التالي التكرارات التّراكُميّة الصّاعدة لسلسلة إحصائيّة.

التّكرار الموافق للقيمة صفر هو :
أ) 13

ب) 0

ج) 4
(3) العدد 27^⁦2018 − 2 × 27⁩^2017 يقبل القسمة على :
أ) 6

ب) 12

ج) 15

التمرين الثاني (

4 نقاط)
نعتبر العددين الحقيقيّين الموجبين ⁦a⁩ و ⁦b⁩ حيث ⁦a² = 11 + 6⁩√2 و ⁦b² = 11 − 6⁩√2.
(1) أ) قارن العددين ⁦a²⁩ و ⁦b²⁩.
ب) بيّن أنّ (⁦a − b⁩) عدد موجب.
(2) أ) احسب ⁦b²a²⁩ ثمّ استنتج أنّ ⁦ab = 7⁩.
(3) أ) حسب (⁦a − b⁩)² ثمّ استنتج أنّ ⁦a − b = 2⁩√2.
(وحدة قيس الطول الصّنتمتر)
في الرّسم المقابل لدينا :

• ⁦ABC⁩ مثلّث متقايس الضّلعين وقائم في ⁦A⁩، حيث ⁦AB = a⁩
• ⁦E⁩ النقطة من [⁦AC⁩] حيث ⁦AE = b⁩
• ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦E⁩ على (⁦BC⁩).
  (4) أ) بيّن أنّ المثلّث ⁦HEC⁩ متقايس الضّلعين.
  ب) بيّن أنّ ⁦EH = 2⁩.
  (5) لتكن ⁦S⁩ مساحة المثلّث ⁦BEC⁩.
  أ) بيّن أنّ ⁦S = a⁩√2.
  ب) بيّن أيضًا أنّ ⁦S = 2 + 3⁩√2 ، ثمّ استنتج أنّ ⁦a = 3⁩ + √2.
  [شكل: مثلّث ⁦ABC⁩ قائم في ⁦A⁩ ومتقايس الضلعين، الضلع ⁦BC⁩ وتره، ⁦E⁩ نقطة على [⁦AC⁩]، ⁦H⁩ المسقط العمودي لـ ⁦E⁩ على (⁦BC⁩) مع تعليم الزاوية القائمة في ⁦H⁩]

التمرين الثّالث (

4 نقاط) (وحدة قيس الطول الصّنتمتر)
مثلث ⁦ABC⁩ متقايس الضّلعين وقمّته الرّئيسيّة ⁦A⁩ حيث ⁦BC = 2⁩ و ⁦AB ≥ 3⁩.
لتكن النقطة ⁦D⁩ مناظرة النقطة ⁦C⁩ بالنسبة إلى ⁦A⁩ ، و ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦A⁩ على المستقيم (⁦BC⁩).
المستقيمان (⁦AB⁩) و (⁦DH⁩) يتقاطعان في النقطة ⁦G⁩.
(1) أ) بيّن أنّ المثلّث ⁦BCD⁩ قائم في ⁦B⁩.
ب) بيّن أنّ ⁦G⁩ مركز ثقل المثلّث ⁦BCD⁩.

في الأسئلة المواليـة، نفترض أنّ ⁦AB = x + 3⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي موجب.
(2) (أ) بيّن أنّ ⁦BD² = 4⁩(⁦x² + 6x + 8⁩).
ب) بيّن أنّ ⁦BD = 2⁩√35 يعني ⁦x² + 6x − 27 = 0⁩.
(3) (أ) بيّن أنّ ⁦x² + 6x − 27⁩ = (⁦x + 3⁩)² − 36.
ب) استنتج أنّ ⁦x² + 6x − 27⁩ = (⁦x − 3⁩)(⁦x + 9⁩).
ج) أوجد ⁦x⁩ حيث ⁦BD = 2⁩√35 ثمّ استنتج البعد ⁦BG⁩.

التمرين الرابع (5 نقاط) (وحدة قيس الطول السنتمتر)
⁦A⁩ و ⁦B⁩ نقطتان من المستوي، حيث ⁦AB = 6⁩ و ⁦I⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦AB⁩]. لتكن 𝒞 الدائرة التي قطرها [⁦AB⁩]
و ⁦C⁩ نقطة من 𝒞 ، حيث ⁦AC = 5⁩.
(1) أحسب ⁦BC⁩.
(2) المماس للدائرة 𝒞 في النقطة ⁦B⁩ يقطع (⁦AC⁩) في النقطة ⁦D⁩.
أ) بيّن أنّ ⁦CD = 11/5⁩.
ب) أحسب ⁦BD⁩.
(3) المستقيم العمودي على (⁦AC⁩) في النقطة ⁦D⁩ يقطع (⁦AB⁩) في نقطة ⁦E⁩. لتكن 𝒞' الدائرة التي قطرها [⁦DE⁩]
و مركزها ⁦O⁩. المستقيم المار من ⁦D⁩ والموازي للمستقيم (⁦AB⁩) يقطع 𝒞' في نقطة ⁦F⁩ مخالفة للنقطة ⁦D⁩.
أ) بيّن أنّ الرباعي ⁦BDFE⁩ مستطيل.
ب) الدائرتان 𝒞 و 𝒞' تتقاطعان في نقطة ⁦H⁩ مخالفة للنقطة ⁦B⁩.
أثبت أنّ النقاط ⁦A⁩ و ⁦H⁩ و ⁦F⁩ على استقامة واحدة.
(4) المستقيمان (⁦AO⁩) و (⁦FI⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦G⁩ والمستقيمان (⁦BG⁩) و (⁦AF⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦K⁩.
أ) بيّن أنّ ⁦K⁩ منتصف [⁦AF⁩].
ب) أثبت أنّ ⁦G⁩ مركز ثقل المثلث ⁦AED⁩.
ج) المستقيمان (⁦EG⁩) و (⁦AD⁩) يتقاطعان في النقطة ⁦L⁩. بيّن أنّ النقاط ⁦L⁩ و ⁦K⁩ و ⁦O⁩ على استقامة واحدة.

التمرين الخامس (4 نقاط) (وحدة قيس الطول السنتمتر)
ليكن ⁦ABCDEFGH⁩ متوازي مستطيلات حيث ⁦AB = 6⁩ و ⁦AE = 4⁩ و ⁦AD = 3⁩.
(1) أ) بيّن أنّ ⁦ADG⁩ مثلث قائم في ⁦D⁩.
ب) أحسب ⁦DG⁩ و ⁦AG⁩.
(2) لتكن ⁦M⁩ النقطة من [⁦AE⁩] حيث ⁦AM = 3⁩ و Δ المستقيم العمودي على المستوي (⁦AED⁩) في النقطة ⁦M⁩.
أ) بيّن أنّ Δ محتوى في المستوي (⁦AEF⁩).
ب) المستقيم Δ يقطع المستقيم (⁦AF⁩) في النقطة ⁦N⁩.
بيّن أنّ ⁦AM/AE = MN/EF⁩.
ج) أحسب ⁦MN⁩ ثمّ ⁦DN⁩.
(3) أحسب حجم الهرم ⁦NMAD⁩.

[شكل: متوازي مستطيلات ⁦ABCDEFGH⁩: الوجه الأمامي ⁦ABFE⁩ (⁦A⁩ أعلى اليسار، ⁦B⁩ أعلى اليمين، ⁦F⁩ أسفل اليمين، ⁦E⁩ أسفل اليسار)، والوجه الخلفي ⁦DCGH⁩ (⁦D⁩ فوق ⁦H⁩، ⁦C⁩ فوق ⁦G⁩)؛ النقطة ⁦M⁩ على [⁦AE⁩] قرب ⁦E⁩]