موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2017

الجمهوريّة التونسيّة
وزارة التربية
امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام
دورة 2017
الاختبار: الرياضيات الحصّة: ساعتان الضارب: 2

التمرين الأوّل (3 نقاط)
كل سؤال تليه ثلاث إجابات إحداها فقط صحيحة.
أنقل في كل مرّة على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.

1. يمثّل المخطّط الدائريّ المقابل توزيعا لتلاميذ إحدى المدارس الإعداديّة حسب المستوى الدراسيّ حيث $\widehat{AOB}$ = 162° و $\widehat{BOC}$ = 126°.
   [شكل: مخطّط دائريّ مركزه ⁦O⁩ عليه النقاط ⁦A⁩ و ⁦B⁩ و ⁦C⁩؛ القطاع ⁦AOB⁩ معنون «السّابعة أساسي»، والقطاع ⁦BOC⁩ معنون «الثّامنة أساسي»، والقطاع ⁦COA⁩ معنون «التّاسعة أساسي»]
   إذا اخترنا بصفة عشوائيّة تلميذا من هذه المدرسة فإنّ احتمال أن يكون يدرس بالسّنة التاسعة أساسي هو
   أ) 18%

ب) 20%

ج) 72% 2) إذا كان ⁦ABCD⁩ مربّعا مركزه ⁦O⁩ و ⁦M⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦AB⁩] فإن إحداثيّات ⁦M⁩ في المعين (⁦O⁩, ⁦B⁩, ⁦C⁩) هي
أ) $(\frac{1}{2},0)$

ب) $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$

ج) $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ 3) العدد $20172017^2-4$ يقبل القسمة على
أ) 6

ب) 12

ج) 15 4) إذا كان ⁦SABCD⁩ هرما منتظما قاعدته المربّع ⁦ABCD⁩ قيس طول ضلعه ⁦a⁩ و مركزه ⁦O⁩ و حيث ⁦SA = a⁩ عدد موجب فإنّ الارتفاع ⁦SO⁩ يساوي
أ) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

ب) $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

ج) $a\sqrt{2}$

التمرين الثاني (4.5 نقاط)

نعتبر العددين الحقيقيين $a=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+3)-(\sqrt{5}-1)}{4}$ و $b=\frac{6-\sqrt{20}}{4}$

1. بيّن أن $a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ و $b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
2. أ) بيّن أن ⁦a⁩ و ⁦b⁩ عددان مقلوبان.
   ب) أحسب ⁦a + b⁩
   ج) بيّن أنّ $(a+b{)}^2-2ab=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ ثمّ أحسب $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$
3. أ) بيّن أن $2\le \sqrt{5}\le \frac{5}{2}$
   ب) بيّن أن $\frac{5}{2}\le a\le \frac{11}{4}$
   ج) استنتج حصرا للعدد ⁦b⁩ ثمّ تحقّق أن مداه أصغر قطعة من 0,04

التمرين الثالث (3.5 نقاط)

نعتبر العبارة ⁦E = x² - 2x + 8⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
أ) أحسب القيمة العددية للعبارة ⁦E⁩ في كلّ من الحالتين ⁦x = -1/2⁩ و ⁦x = 5/2⁩.
ب) بيّن أنّ ⁦E⁩ = (⁦x - 1⁩)² + 7.

2. في الرسم المقابل، حيث وحدة قيس الطول هي السنتمتر، لدينا:
   • مربع ⁦ABCD⁩ قيس طول ضلعه 4.
   • مربع ⁦APRT⁩ قيس طول ضلعه ⁦a⁩ حيث ⁦a⁩ عدد حقيقي ينتمي للمجال ]0,4[.
   ليكن ⁦S⁩ مجموع قيسي مساحتي المربّع ⁦APRT⁩ و المثلّث ⁦CDR⁩ بالسنتمتر المربّع.
   أ) بيّن أنّ ⁦S = a² - 2a + 8⁩.
   ب) بيّن أنّ ⁦S ≥ 7⁩.
   ج) أوجد العدد ⁦a⁩ الذي يحقّق المساواة ⁦S = 7⁩.

[شكل: مستطيل ⁦ABCD⁩ مقسّم إلى مربّعين: مربّع ⁦APRT⁩ صغير أعلى اليسار مظلّل وبداخله ⁦T⁩ على الضلع الأيسر ⁦AD⁩ و ⁦R⁩ رأس داخلي و ⁦P⁩ على الضلع العلوي ⁦AB⁩، والمربّع الأيمن ⁦PTBC⁩ وفيه مثلّث ⁦CDR⁩ مظلّل رأسه ⁦R⁩ وقاعدته ⁦DC⁩ أسفل المربّع الكبير؛ النقاط ⁦A⁩، ⁦P⁩، ⁦B⁩ أعلى و ⁦T⁩ على اليسار و ⁦D⁩، ⁦C⁩ أسفل]

التمرين الرابع : (5 نقاط)
وحدة قيس الطول هي الصنتمتر

1. أ) أرسم مثلثا ⁦AOB⁩ قائما في ⁦A⁩ حيث ⁦AB = 4⁩ و ⁦AO = 3⁩.
   ب) أحسب ⁦OB⁩.
2. الدائرة 𝒞 التي مركزها ⁦O⁩ و تمرّ من ⁦A⁩ تقطع قطعة المستقيم [⁦OB⁩] في النقطة ⁦E⁩.
   بيّن أن ⁦BE = 2⁩.
3. المستقيم (⁦AO⁩) يقطع الدائرة 𝒞 في نقطة ثانية ⁦D⁩.
   أ) بيّن أن (⁦AE⁩) و (⁦DE⁩) متعامدان.
   ب) المستقيم Δ العمودي على (⁦AB⁩) في النقطة ⁦B⁩ يقطع المستقيم (⁦AE⁩) في ⁦F⁩.
   بيّن أن النقطة ⁦B⁩ تنتمي للموسّط العمودي لقطعة المستقيم [⁦EF⁩].
4. لتكن النقطة ⁦I⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦DF⁩].
   بيّن أن المستقيمين (⁦DE⁩) و (⁦IB⁩) متوازيان.
5. لتكن ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦E⁩ على (⁦AB⁩).
   أ) بيّن أن ⁦BE/BO = BH/BA = EH/OA⁩.
   ب) استنتج البعدين ⁦EH⁩ و ⁦BH⁩.

التمرين الخامس : (4 نقاط)

يقدّم الجدول التالي توزيع أشجار حقل زيتون حسب إنتاجها بالكيلوغرام.

1. ما هي الفئة المنوال لهذه السلّسلة الإحصائية ؟
2. أحسب بالكيلوغرام معدّل إنتاج شجرة زيتون بهذا الحقل.
3. أ) كوّن جدول التكرارات التراكميّة الصاعدة لهذه السلّسلة.
   ب) أرسم مضلّع التكرارات التراكميّة الصاعدة.
   ج) استنتج قيمة تقريبية لموسّط هذه السلّسلة الإحصائية.
4. قام صاحب هذا الحقل بجمع محصول إحدى شجرات الزيتون.
   ما هو احتمال أن يكون إنتاج هذه الشجرة أقلّ من 60 كغ ؟