موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2016

التمرين الأول : (3 نقاط)
كل سؤال تليه ثلاث إجابات إحداها فقط صحيحة.
أنقل في كل مرة على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.

1. مجموعة الأعداد الحقيقية ⁦x⁩ بحيث $1-|x|>\frac{2}{3}$ هي :
   أ) $]-\frac{1}{3},\frac{1}{3}[$

ب) $]-\infty ,-\frac{1}{3}[\cup ]\frac{1}{3},+\infty [$

ج) $[0,\frac{1}{3}[$ 2) ⁦a⁩ و ⁦b⁩ و ⁦c⁩ ثلاثة أرقام. العدد $1728722a7bc$ يقبل القسمة على 12 و 15 إذا كان :
أ) $a=2$ و $b=6$ و $c=0$

ب) $a=6$ و $b=4$ و $c=5$

ج) $a=3$ و $b=6$ و $c=0$ 3) يمثل الجدول التالي توزيعا للأهداف التي سجّلها فريق كرة قدم خلال 25 مقابلة، حيث ⁦x⁩ و ⁦y⁩ عددان صحيحان طبيعيّان.

ب) 2

ج) 3

التمرين الثاني : (3 نقاط)

في الرسم المقابل لدينا $(O,I,J)$ معيّن متعامد من المستوى حيث $OI=OJ=1$ و $A(a,0)$ و $B(0,a)$ نقطتان من المستوى علما أن $a$ عدد حقيقي و $a>1$.

1. المستقيم المارّ من ⁦A⁩ والموازي للمستقيم (⁦BI⁩) يقطع (⁦OJ⁩) في النقطة ⁦E⁩.
   بيّن أنّ $\frac{OA}{OI}=\frac{OE}{OB}$ ثمّ استنتج أنّ $OE=a^2$.
2. لتكن النقطة ⁦M⁩ من نصف المستقيم $[OJ)$ حيث $EM=1$ و ⁦M⁩ لا تنتمي لقطعة المستقيم $[OE]$.
   حدّد البعد ⁦OM⁩ بدلالة ⁦a⁩.
3. المستقيم المارّ من النقطة ⁦J⁩ والموازي للمستقيم (⁦AM⁩) يقطع (⁦OI⁩) في النقطة ⁦K⁩.
   بيّن أنّ $OK=\frac{a}{a^2+1}$
4. أ) أثبت أنّ $(x-2)(x-\frac{1}{2})=x^2-\frac{5}{2}x+1$ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
   ب) بيّن إذا كان $OK=\frac{2}{5}$ فإنّ النقطة ⁦I⁩ منتصف قطعة المستقيم $[OA]$

نعتبر العددين الحقيقيين ⁦a⁩ و ⁦b⁩ حيث :
$b=9-10\sqrt{5}+2\sqrt{45}+2\sqrt{80}$ و $a=(\sqrt{5}-1{)}^2-2(\sqrt{5}-2)-1$
أ) بيّن أنّ $a=9-4\sqrt{5}$ و $b=9+4\sqrt{5}$ .
ب) بيّن أنّ العددين ⁦a⁩ و ⁦b⁩ مقلوبان ثمّ استنتج مقارنة العددين 9 و $4\sqrt{5}$ .
ج) أحسب $(4\sqrt{5}-9{)}^{2015}\times (9+4\sqrt{5}{)}^{2015}$.

2. نعتبر العبارة ⁦A = x² − 18x + 1⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي
   أ) بيّن أنّ ⁦A⁩ = (⁦x − 9⁩)² − 80
   ب) استنتج أنّ ⁦A⁩ = (⁦x − 9 − 4⁩√5)(⁦x − 9 + 4⁩√5)
3. حلّ في ℝ المعادلة : (⁦x + 1⁩)² = ⁦20 x⁩

التمرين الرابع : (5 نقاط) (وحدة القيس هي السنتمتر)

في الرسم المقابل لدينا : ⁦A⁩ و ⁦B⁩ و ⁦C⁩ ثلاث نقاط على استقامة واحدة حيث ⁦B⁩ تنتمي لقطعة المستقيم [⁦AC⁩] و ⁦AB = 6⁩ و ⁦AC = 8⁩ .
𝒞₁ نصف دائرة قطرها [⁦AB⁩] ومركزها ⁦I⁩ و 𝒞₂ نصف دائرة قطرها [⁦AC⁩] ومركزها ⁦O⁩.
[شكل: رسم يمثل نصف دائرتين 𝒞₁ و 𝒞₂ فوق قطعة مستقيمة ⁦AC⁩، النقاط ⁦A⁩ و ⁦I⁩ و ⁦O⁩ و ⁦B⁩ و ⁦C⁩ على الاستقامة، 𝒞₁ قطرها [⁦AB⁩] ومركزها ⁦I⁩، 𝒞₂ قطرها [⁦AC⁩] ومركزها ⁦O⁩]

1. الموسّط العمودي لقطعة المستقيم [⁦AB⁩] يقطع 𝒞₁ في النقطة ⁦D⁩.
   أ) أثبت أنّ المثلث ⁦ABD⁩ قائم ومتقايس الضلعين في ⁦D⁩.
   ب) بيّن أنّ ⁦BD = 3⁩√2 .
2. المستقيم (⁦AD⁩) يقطع 𝒞₂ في نقطة ثانية ⁦E⁩.
   أ) بيّن أنّ المثلث ⁦AEC⁩ قائم ومتقايس الضلعين.
   ب) بيّن أنّ ⁦EC = 4⁩√2 .
3. المستقيم (⁦BD⁩) يقطع قطعة المستقيم [⁦OE⁩] في النقطة ⁦F⁩.
   أحسب البعد ⁦OF⁩ وبيّن أنّ ⁦F⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦OE⁩] .
4. لتكن النقطة ⁦G⁩ مركز ثقل المثلث ⁦ABD⁩ . بيّن أنّ الرباعي ⁦EFGD⁩ متوازي أضلاع.
5. لتكن النقطة ⁦N⁩ منتصف [⁦OA⁩] .
   أ) بيّن أنّ النقاط ⁦N⁩ و ⁦G⁩ و ⁦F⁩ على استقامة واحدة.
   ب) أثبت أنّ ⁦G⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦NF⁩] .
6. لتكن ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦G⁩ على المستقيم (⁦DN⁩) .
   أثبت أنّ ⁦H⁩ تنتمي للمستقيم (⁦BG⁩) .

التمرين الخامس : (4 نقاط) (وحدة القيس هي السنتمتر)

⁦ABCDEFGH⁩ متوازي مستطيلات حيث ⁦AB = 6⁩ و ⁦AD = 3⁩ و ⁦AE = 3⁩ و النقطة ⁦I⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦AG⁩]
[شكل: متوازي مستطيلات: الوجه العلوي ⁦ABCD⁩ والسفلي ⁦EFGH⁩ (⁦E⁩ تحت ⁦A⁩، ⁦F⁩ تحت ⁦B⁩، ⁦G⁩ تحت ⁦C⁩، ⁦H⁩ تحت ⁦D⁩)، مع القطر [⁦AG⁩] ومنتصفه ⁦I⁩، والقطعتين [⁦EM⁩] و[⁦CN⁩] العموديّتين على (⁦AG⁩)]

1. أ) بيّن أنّ المستقيم (⁦AE⁩) عمودي على المستوي (⁦EFH⁩).
   ب) استنتج أنّ المثلث ⁦AEG⁩ قائم الزاوية في ⁦E⁩.
   ج) أحسب ⁦EG⁩ ثمّ ⁦AG⁩ و ⁦EI⁩ .
2. بيّن أنّ الرباعي ⁦AEGC⁩ مستطيل.
3. لتكن ⁦M⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦E⁩ على المستقيم (⁦AG⁩)
   و ⁦N⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦C⁩ على المستقيم (⁦AG⁩).
   أ) بيّن أنّ المستقيمين (⁦NC⁩) و (⁦ME⁩) متوازيان.
   ب) أحسب ⁦NC⁩ و ⁦EM⁩ ثمّ بيّن أنّ النقطة ⁦I⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦MN⁩] .