موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2015

التمرين الأول : (3 نقاط)
يلي كلّ سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة. أنقل، في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة
الصحيحة الموافقة له.

(1) (⁦O⁩, ⁦I⁩, ⁦J⁩) معيّن متعامد في المستوي، نعتبر النقاط ⁦A⁩(1 - √2 ,

2. و ⁦B⁩(1 + √2 ,

3. و ⁦C⁩(√⁦2 - 1⁩ , 2). النقطتان المتناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (⁦OJ⁩) من بين النقاط ⁦A⁩ و ⁦B⁩ و ⁦C⁩ هما
   أ) ⁦A⁩ و ⁦B⁩

ب) ⁦A⁩ و ⁦C⁩ جـ) ⁦B⁩ و ⁦C⁩

(2) مهمّا يكن الرقم الفردي ⁦a⁩ فإنّ العدد ⁦a1a1a4⁩ يقبل القسمة على العدد :
أ) 6

ب) 12 جـ) 15

(3) يقدّم الجدول الإحصائي الموالي توزيعا للسكّان بأحد الأحياء حسب الفئة العمرية بالسنة.

قيمة تقريبية لمعدّل أعمار سكّان هذا الحي بالسنة هي :
أ) 33

ب) 40 جـ) 65

التمرين الثاني : (4 نقاط)
نعتبر العددين الحقيقيين ⁦a⁩ و ⁦b⁩ حيث ⁦a⁩ = ((1 + √13)² -

8. / 4 و ⁦b⁩ = (√52 -

9. / 4 .

(1) بيّن أنّ ⁦a⁩ = (√13 +

3. / 2 و ⁦b⁩ = (√13 -

4. / 2
   (2) أ) احسب ⁦b - a⁩
   ب) بيّن أنّ ⁦a⁩ مقلوب ⁦b⁩
   جـ) بيّن أنّ ⁦b/a + a/b - 2⁩ = (⁦b - a⁩)²
   ثمّ استنتج قيمة √(⁦b/a + a/b - 2⁩)

(3) (وحدة القيس هي السنتمتر)
في الرسم المقابل لدينا :

• مثلّث ⁦ABE⁩ قائم حيث ⁦AB = 3⁩ و ⁦AE = 2⁩ .
• دائرة ⁦C⁩ مركزها ⁦B⁩ وتمرّ من النقطة ⁦E⁩
• نقطة تقاطع الدائرة ⁦C⁩ ونصف المستقيم [⁦AB⁩] ⁦D⁩
• ⁦I⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦AD⁩]
  أ) احسب ⁦BE⁩
  ب) بيّن أنّ ⁦AI⁩ = (√13 +

3. / 2 و ⁦BI⁩ = (√13 -

4. / 2

[شكل: رسم لدائرة ⁦C⁩ مركزها ⁦B⁩، عليها النقطتان ⁦E⁩ و ⁦D⁩، ونصف مستقيم أفقي يمرّ من ⁦A⁩ و ⁦B⁩ و ⁦I⁩ و ⁦D⁩ حيث ⁦A⁩ و ⁦B⁩ و ⁦I⁩ على القطعة الأفقية و ⁦D⁩ على الدائرة، والقطعة [⁦AE⁩] عمودية على [⁦AB⁩] والقطعة [⁦BE⁩] وتر في الدائرة.]

التمرين الثالث : (4 نقاط)
نعتبر العبارة ⁦E = x² - 10x + 9⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.

1. أحسب القيمة العددية للعبارة ⁦E⁩ في حالة ⁦x = 9⁩
2. أ) بيّن أنّ ⁦E⁩ = (⁦x - 5⁩)² - 16
   ب) استنتج أنّ ⁦E⁩ = (⁦x - 9⁩)(⁦x - 1⁩)
   ج) حلّ في ⁦IR⁩ المعادلة : ⁦x² - 10x + 9 = 0⁩
   (وحدة القيس هي السّنتمتر)
   في الرّسم المقابل ⁦ABCD⁩ مستطيل بحيث ⁦AB = 10⁩ و ⁦BC = 3⁩ نقطة من قطعة المستقيم [⁦CD⁩] حيث ⁦DM = x⁩ و ⁦x⁩ عدد حقيقي ينتمي للمجال ]0 , 10].
   أ) بيّن أنّ ⁦BM² = x² - 20x + 109⁩
   ب) بيّن أنّ ⁦AM² + BM² = 2x² - 20x + 118⁩
   ج) استنتج القيم الممكنة للبعد ⁦DM⁩ بحيث يكون المستقيمان (⁦AM⁩) و (⁦BM⁩) متعامدين.
   [شكل: مستطيل ⁦ABCD⁩ رأسه ⁦A⁩ أسفل اليسار و ⁦B⁩ أعلى اليسار و ⁦C⁩ أعلى اليمين و ⁦D⁩ أسفل اليمين، النقطة ⁦M⁩ على الضلع ⁦CD⁩ قريبة من ⁦C⁩، قطع مستقيمة ⁦AC⁩ و ⁦BM⁩ و ⁦AM⁩ موضّلة داخل المستطيل، وأسماء الرؤوس ⁦A⁩، ⁦B⁩، ⁦C⁩، ⁦D⁩، ⁦M⁩ ورمز ⁦x⁩ بجانب ⁦M⁩ ظاهرة]

التمرين الرابع : (5 نقاط)
(وحدة القيس هي السّنتمتر)
لتكن (⁦C⁩) دائرة مركزها ⁦I⁩ و [⁦AB⁩] قطر لها بحيث ⁦AB = 5⁩ و ⁦C⁩ نقطة منها حيث ⁦AC = 3⁩
و ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦C⁩ على المستقيم (⁦AB⁩).

1. أ) أنجز رسما يوافق المعطيات السابقة.
   ب) بيّن أنّ المثلّث ⁦ABC⁩ قائم الزاوية.
   ج) بيّن أنّ ⁦BC = 4⁩ ثمّ أحسب ⁦CH⁩ .
   د) بيّن أنّ ⁦BH = 16/5⁩
2. لتكن النقطة ⁦M⁩ من نصف المستقيم [⁦AB⁩] حيث ⁦AM = 6⁩ . المستقيم المارّ من ⁦M⁩ والعمودي على (⁦AB⁩) يقطع (⁦AC⁩) في النقطة ⁦E⁩ ويقطع (⁦BC⁩) في النقطة ⁦F⁩ .
   أ) بيّن أنّ النقطة ⁦B⁩ تمثّل المركز القائم للمثلّث ⁦AEF⁩.
   ب) المستقيم (⁦EB⁩) يقطع المستقيم (⁦AF⁩) في النقطة ⁦K⁩ . أثبت أنّ ⁦K⁩ تنتمي للدائرة (⁦C⁩).
3. بيّن أنّ ⁦BF/BC = 5/16⁩ ثمّ استنتج البعد ⁦BF⁩.

التمرين الخامس : (4 نقاط)
(وحدة القيس هي السّنتمتر)
يمثّل الرّسم المقابل هرمًا منتظما ⁦SABCD⁩ قاعدته المربّع ⁦ABCD⁩
الذي مركزه ⁦O⁩ حيث ⁦AB = 2⁩√2 و ⁦SC = 4⁩ .

1. بيّن أنّ ⁦AC = 4⁩
2. بيّن أنّ المثلّث ⁦COS⁩ قائم في ⁦O⁩ وأحسب البعد ⁦SO⁩ .
3. لتكن ⁦P⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦O⁩ على المستقيم (⁦SC⁩)
   أ) أحسب البعد ⁦OP⁩.
   ب) بيّن أنّ المستقيم (⁦OB⁩) عمودي على المستوي (⁦SAC⁩) .
   ج) استنتج أنّ المثلّث ⁦POB⁩ قائم الزاوية في ⁦O⁩ ثمّ أحسب البعد ⁦PB⁩.
   [شكل: هرم منتظم ⁦SABCD⁩ قاعدته المربّع ⁦ABCD⁩ مركزه ⁦O⁩، الرأس ⁦S⁩ أعلى الهرم، أحرف الجانب ⁦SA⁩ و ⁦SB⁩ و ⁦SC⁩ و ⁦SD⁩ مرسومة، النقطة ⁦P⁩ على الضلع ⁦SC⁩، والرؤوس ⁦A⁩، ⁦B⁩، ⁦C⁩، ⁦D⁩، ⁦O⁩، ⁦P⁩، ⁦S⁩ مسمّاة]
   ⁦2/2⁩