موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2013

التمرين الأول : (3 نقاط)
يلي كلّ سؤال ثلاث إجابات. إحداها فقط صحيحة.
أنقل، في كل مرّة، على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.

(1) العدد ⁦4536a79b⁩ حيث ⁦a⁩ و ⁦b⁩ رقمان، يقبل القسمة على 15 إذا كان :
أ) ⁦a = 5⁩ و ⁦b = 2⁩

ب) ⁦a = 2⁩ و ⁦b = 0⁩

ج) ⁦a = 4⁩ و ⁦b = 5⁩

(2) مقاسات الأحذية التي يبعث بإحدى المغازات في يوم هي : 37 ، 36 ، 38 ، 39 ، 40 ، 41 ، 40 ، 39 ، 41
موسّط هذه السلسلة الإحصائية لمقاسات الأحذية هو :
أ) 39

ب) 39,5

ج) 40

(3) يحتوي صندوق على 40 كرة كُتب على كلّ منها ثمنها بالدينار كما يبيّن الجدول التالي :

إذا اخترنا بصفة عشوائية كرة من بين هذه الكرات فإنّ احتمال أن لا يتجاوز ثمنها 12 دينارا هو :
أ) 10 %

ب) 16 %

ج) 40 %

التمرين الثاني : (3.5 نقاط)

نعتبر العددين الحقيقيين ⁦a⁩ = (√⁦5+1⁩)/2 و ⁦b⁩ = (√⁦5−1⁩)/2
(1) أ) أحسب ⁦a + b⁩
ب) بيّن أنّ ⁦b⁩ مقلوب العدد ⁦a⁩ .
(2) (وحدة قيس الطول هي الصّنتمتر).
⁦ABCD⁩ مربّع بحيث ⁦AB=1⁩ و ⁦I⁩ منتصف [⁦AB⁩] .
الدائرة التي مركزها ⁦I⁩ و تمرّ من النقطة ⁦C⁩ تقطع نصف المستقيم [⁦AB⁩) في نقطة ⁦E⁩ .
أ) أحسب البعد ⁦IC⁩
ب) بيّن أنّ ⁦AE⁩ = (1+√5)/2 و ⁦BE⁩ = (√⁦5−1⁩)/2

[شكل: مربّع ⁦ABCD⁩ مرسوم ودائرة مركزها النقطة ⁦I⁩ على القطعة [⁦AB⁩] تمرّ بالنقطتين ⁦C⁩ و ⁦D⁩، مع استقامية النقاط ⁦A⁩, ⁦I⁩, ⁦B⁩, ⁦E⁩ على نصف المستقيم [⁦AB⁩)، والنقطة ⁦E⁩ على يمين ⁦B⁩.]

التمرين الثالث : (4.5 نقاط)

نعتبر العبارة ⁦A = 1/3⁩(⁦3x − 2⁩) + ⁦2x − 7/3⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.

1. أ) بيّن أنّ ⁦A = 3x − 3⁩
   ب) حلّ في ⁦IR⁩ المتراجحة ⁦3x − 3 ≥ 0⁩
2. لتكن العبارة ⁦B = x²⁩ − (1 + √2)⁦x⁩ + √2 حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
   أ) أحسب القيمة العددية للعبارة ⁦B⁩ في حالة ⁦x⁩ = √2
   ب) بيّن أنّ ⁦B⁩ = (⁦x − 1⁩)(⁦x⁩ − √2)
3. أ) بيّن أنّ ⁦B − A⁩ = (⁦x − 1⁩)(⁦x⁩ − √⁦2 − 3⁩)
   ب) أوجد الأعداد الحقيقية ⁦x⁩ بحيث ⁦A = B⁩

التمرين الرابع : (5 نقاط)
(

التمرين الرابع : (5 نقاط) (وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر)
⁦A⁩ و ⁦B⁩ نقطتان من المستوي حيث ⁦AB = 6⁩ و ⁦O⁩ منتصف قطعة المستقيم [⁦AB⁩].
⁦C⁩ نقطة من الموسّط العمودي لقطعة المستقيم [⁦AB⁩] حيث ⁦OC = 3⁩.
⁦D⁩ مناظرة ⁦A⁩ بالنسبة إلى النقطة ⁦C⁩ و ⁦G⁩ نقطة تقاطع المستقيمين (⁦BC⁩) و (⁦OD⁩).

1. بيّن أنّ ⁦G⁩ مركز ثقل المثلث ⁦ABD⁩.
2. المستقيم (⁦AG⁩) يقطع [⁦BD⁩] في النقطة ⁦E⁩.
   أ) بيّن أنّ ⁦E⁩ منتصف [⁦BD⁩].
   ب) بيّن أنّ المستقيمين (⁦AB⁩) و (⁦BD⁩) متعامدان و أنّ ⁦BD = 6⁩.
   ج) بيّن أنّ ⁦AE = 3⁩√5 ثمّ أحسب ⁦AG⁩.
3. أ) بيّن أنّ ⁦OEDC⁩ متوازي الأضلاع واستنتج أنّ (⁦OG⁩) حامل لإحدى موسّطات المثلث ⁦OEC⁩.
   ب) بيّن أنّ ⁦OECA⁩ متوازي الأضلاع. ماذا يمثل (⁦EG⁩) بالنسبة إلى المثلث ⁦OEC⁩ ؟
   ج) بيّن أنّ ⁦G⁩ مركز ثقل المثلث ⁦OEC⁩.

[شكل: رسم هندسي لمثلث ⁦ABD⁩ فيه القطعة [⁦AB⁩] أفقية طولها 6، النقطة ⁦O⁩ منتصفها، ⁦C⁩ على الموسّط العمودي فوق ⁦O⁩، المستقيمان (⁦BC⁩) و (⁦OD⁩) يتقاطعان في ⁦G⁩ داخل المثلث، والمستقيم (⁦AG⁩) يقطع [⁦BD⁩] في ⁦E⁩]

وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر)
يمثل الرسم المصاحب هرما ⁦SABCD⁩ حيث ⁦ABCD⁩ مربّع و ⁦AB = 2⁩√2.
المستقيم (⁦SA⁩) عموديّ على المستقيمين (⁦AB⁩) و (⁦AD⁩) و ⁦SA = 2⁩√5.

1. أ) بيّن أنّ المستقيم (⁦SA⁩) عموديّ على المستوي (⁦ABD⁩).
   ب) استنتج أنّ المثلث ⁦SAC⁩ قائم الزاوية.
2. أ) أحسب البعد ⁦AC⁩.
   ب) بيّن أنّ ⁦SC = 6⁩.
3. لتكن ⁦E⁩ منتصف [⁦SC⁩]. أحسب البعد ⁦AE⁩.

[شكل: رسم هرم ⁦SABCD⁩ قاعدته المربع ⁦ABCD⁩، الرأس ⁦S⁩ فوق ⁦A⁩، والقطعة [⁦SA⁩] عمودية على القاعدة، مع إشارة الزاوية القائمة عند ⁦A⁩]