موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2012

التمرين الأول (4 نقاط) :
يلي كلّ سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة.
انقل، في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.
1- مجموعة حلول المتراجحة ⁦6x-5 < 4x+1⁩ في ℝ هي :
أ- ]-∞, 3[

ب- ]-∞, -3[

ج- ]3, +∞[
2- العدد 2^⁦2010 + 2⁩^⁦2011 + 2⁩^2012 يقبل القسمة على :
أ- 12

ب- 14

ج- 15
3- ليكن (⁦O⁩, ⁦I⁩, ⁦J⁩) معينا في المستوي والنقطتان ⁦A⁩(1-√3, -2) و ⁦B⁩(1+√3, 2)
النقطة ⁦A⁩ هي مناظرة النقطة ⁦B⁩ بالنسبة إلى النقطة :
أ- ⁦O⁩

ب- ⁦I⁩

ج- ⁦J⁩
4- إذا كان ⁦ABCDEFGH⁩ مكعّبا فإنّ المثلّث ⁦CEH⁩ :
أ- متقايس الأضلاع

ب- متقايس الضلعين

ج- قائم الزاوية
[شكل: مكعّب ⁦ABCDEFGH⁩: القاعدة السفلى ⁦ABCD⁩ والعليا ⁦EFGH⁩ (⁦E⁩ فوق ⁦A⁩، ⁦F⁩ فوق ⁦B⁩، ⁦G⁩ فوق ⁦C⁩، ⁦H⁩ فوق ⁦D⁩)، مع القطع [⁦CE⁩] و[⁦CH⁩] و[⁦EH⁩]]

التمرين الثاني (3,5 نقاط) :
نعتبر العددين الحقيقيّين : ⁦a = 7 + 4⁩√3 و ⁦b = 7 - 4⁩√3
1- أ- بيّن أنّ العدد ⁦a⁩ هو مقلوب العدد ⁦b⁩
ب- احسب ⁦a²⁩ و ⁦b²⁩
ج- بيّن أنّ ⁦a/b + b/a = 194⁩
2- ليكن العدد ⁦c⁩ = √(⁦a/b⁩) + √(⁦b/a⁩)
احسب ⁦c²⁩ ثمّ استنتج ⁦c⁩

التمرين الثالث (3,5 نقاط) :
(وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر)
1- أ- أُرسم مربّعا ⁦ABCD⁩ قيس ضلعه 5
ب- احسب ⁦BD⁩
2- لتكن ⁦M⁩ نقطة من قطعة المستقيم [⁦BD⁩] حيث ⁦MD⁩ = √8
أ- بيّن أنّ ⁦BM⁩ = √18
ب- بيّن أنّ ⁦BM/3 = MD/2⁩
ج- إبنِ النقطة ⁦M⁩

التمرين الرابع ( 5 نقاط) :
(وحدة قيس الطول هي السنتمتر)
1- ليكن ⁦ABC⁩ مثلثا حيث ⁦AB = AC = 8⁩ و ⁦BC = 8⁩√2
بيّن أنّ المثلّث ⁦ABC⁩ قائم الزاوية في ⁦A⁩
2- نعتبر نقطة ⁦F⁩ من [⁦AB⁩] مخالفة لـ ⁦A⁩ و ⁦B⁩ و ليكن ⁦BF = x⁩ حيث ⁦0 < x < 8⁩
المستقيم المارّ من ⁦F⁩ والعمودي على (⁦AB⁩) يقطع (⁦BC⁩) في نقطة ⁦E⁩
أ- أنجز الرسم.
ب- بيّن أنّ ⁦EF = x⁩
ج- ليكن ⁦a⁩ قيس مساحة المثلّث ⁦AEF⁩ بالسنتمتر مربّع. بيّن أنّ ⁦a = x⁩(⁦8 - x⁩) / 2
3- أ- بيّن أنّ ⁦8 - a⁩ = (⁦x - 4⁩)² / 2
ب- استنتج أنّ ⁦0 < a ≤ 8⁩
4- أ- حدّ قيمة العدد ⁦x⁩ ليكون قيس مساحة المثلّث ⁦AEF⁩ بالمصتمر مربّع مساويا لـ 8
ب- حدّد، في هذه الحالة، موقع النقطة ⁦F⁩ على القطعة [⁦AB⁩]

التمرين الخامس (4 نقاط) :
يعرض الجدول الإحصائي الموالي توزيعا للسكّان بأحد الأحياء حسب العمر بالسنوات :

1- أ- كم عدد سكّان هذا الحيّ ؟
ب- ما هو معدّل الأعمار بهذا الحيّ ؟
2- أ- كوّن جدول التوترات التراكميّة الصّاعدة لهذه السلسلة الإحصائيّة.
ب- مثّل هذا الجدول بمضلع.
ج- استنتج قيمة تقريبية لموسّط أعمار سكّان هذا الحيّ.
3- قمنا بتسجيل كلّ فرد من سكّان هذا الحيّ على ورقة خاصّة به ووضعنا كافّة الأوراق بكيس
ثمّ سحبنا بطريقة عشوائية إحدى الأوراق من هذا الكيس.
ما هو احتمال الحصول على ورقة لفرد عمره أقلّ من 60 سنة ؟