موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2010

التمرين الأول ( 3 نقاط ) :
يلي كل سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات إحداها فقط صحيحة : اكتب على ورقة تحريرك في كل مرّة ؛ رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.

1. حَلّ المعادلة ⁦5 = x⁩√5 في مجموعة الأعداد الحقيقية هو :
   أ) ⁦x⁩ = √5

ب) ⁦x = 5⁩ - √5

ج) ⁦x⁩ = √⁦5/5⁩ 2) ليكن (⁦O⁩ , ⁦I⁩ , ⁦J⁩) معينا متعامدا في المستوى والنقطتين ⁦A⁩ (2,3) و ⁦B⁩ (2,-3) .
المستقيم (⁦AB⁩) موازي للمستقيم :
أ) (⁦OJ⁩)

ب) (⁦OI⁩)

ج) (⁦IJ⁩) 3) سجّلت درجات الحرارة بإحدى المدن التونسية خلال أسبوع من شهر جوان فكانت كالآتي :
31 ، 32 ، 31 ، 34 ، 31 ، 34 ، 33 . موسّط هذه السلسلة الإحصائية لدرجات الحرارة هو :
أ) 31

ب) 32

ج) 33

التمرين الثاني ( 4 نقاط ) :

نعتبر العددين ⁦B = 3⁩ + √⁦32 - 3⁩√8 و ⁦A = 1⁩ + √2(2 + √2)

1. أ) بيّن أن : ⁦A = 3 + 2⁩√2 وأن ⁦B = 3 - 2⁩√2
   ب) بيّن أن العدد ⁦B⁩ هو مقلوب العدد ⁦A⁩
   ج) استنتج مقارنة العددين 3 و 2√2
2. ليكن العدد الحقيقي ⁦C = A/B + B/A⁩
   بيّن أن ⁦C⁩ عدد صحيح طبيعي.

التمرين الثالث ( 5 نقاط ) :

نعتبر العبارة ⁦A = x² + 2x - 8⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي

1. احسب القيمة العددية للعبارة ⁦A⁩ إذا كان ⁦x = 2⁩
2. أ- بيّن أن ⁦A⁩ = (⁦x + 1⁩)² - 9
   ب- فكّك العبارة ⁦A⁩ إلى جداء عاملين
   ج- حُلّ في ⁦IR⁩ المعادلة ⁦A = 0⁩
3. وحدة قيس الطول هي السنتمتر.
   في الشكل المقابل لدينا :
   • المستقيم (⁦BE⁩) عمودي على (⁦EF⁩) وعمودي على (⁦BC⁩)
   • ⁦AE = 4⁩ و ⁦BC = 2⁩
   • ⁦AB = x⁩ و ⁦EF = x + 2⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي موجب

[شكل: القطعة [⁦BE⁩] عموديّة على [⁦EF⁩] وعلى [⁦BC⁩] (⁦BC⁩ و ⁦EF⁩ في جهتين مختلفتين من (⁦BE⁩))، والقطعتان [⁦BE⁩] و[⁦CF⁩] تتقاطعان في ⁦A⁩؛ ⁦BC = 2⁩، ⁦AB = x⁩، ⁦AE = 4⁩، ⁦EF = x + 2⁩]

أ- بيّن أن $\frac{x}{4}=\frac{2}{x+2}$ واستنتج أن $x^2+2x-8=0$
ب- احسب قيس مساحة المثلث ⁦AEF⁩.

وحدة قيس الطول هي السنتمتر)
ليكن ⁦ABCD⁩ مستطيلا مركزه ⁦O⁩ حيث : ⁦AB = 8⁩ و ⁦AD = 4⁩
المستقيم المارّ من ⁦O⁩ والعمودي على (⁦BD⁩) يقطع (⁦AB⁩) في النقطة ⁦I⁩ ويقطع (⁦CD⁩) في النقطة ⁦J⁩.
1- أ- ارسم الشكل.
ب- بيّن أنّ المثلث ⁦DIB⁩ متقايس الضلعين.
ج- بيّن أن ⁦I B = D J⁩
د- استنتج أن الرباعي ⁦DIBJ⁩ معيّن
2- لتكن ⁦K⁩ نقطة تقاطع المستقيمين (⁦I J⁩) و (⁦AD⁩).
بيّن أن المستقيم (⁦DI⁩) عمودي على المستقيم (⁦BK⁩).
3- نرمز بـ ⁦x⁩ للبعد ⁦AI⁩
أ- بيّن أنّ : $D{I}^2=x^2+16$ وأنّ $B{I}^2=(8-x{)}^2$
ب- استنتج أن ⁦AI = 3⁩ و احسب قيس محيط المعيّن ⁦DIBJ⁩
التمرين الخامس (3 نقاط) :
(

وحدة قيس الطول هي السنتمتر)
يمثّل الشكل المقابل هرما ⁦OABCD⁩ حيث :
• ⁦ABCD⁩ مستطيل
• المستقيم (⁦AO⁩) عمودي على (⁦AB⁩) وعمودي على (⁦AD⁩).
1- أ- بيّن أن (⁦AO⁩) عمودي على المستوى (⁦ABD⁩)
ب- استنتج أن (⁦AO⁩) عمودي على المستقيم (⁦AC⁩).
2- بيّن أنّ (⁦AB⁩) عمودي على المستوى (⁦AOD⁩).

[شكل: مجسم هرم ⁦OABCD⁩ قاعدته المستطيل ⁦ABCD⁩ والنقطة ⁦O⁩ أعلى الهرم، تظهر القاعدة ⁦ABCD⁩ بترتيب رؤوسها ⁦A⁩ أعلى اليسار، ⁦B⁩ أسفل اليسار، ⁦C⁩ أسفل اليمين، ⁦D⁩ أعلى اليمين، والضلع ⁦AO⁩ ممتد عموديا من ⁦O⁩ إلى ⁦A⁩، مع وصل ⁦OB⁩ و⁦OC⁩ و⁦OD⁩.]