موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2007

التَّمْرِينُ الأَوَّلُ : (4 نقاط)

1. نعتبر العبارة ⁦A = 1/2⁩(⁦2x⁩ -

2. • ⁦x - 7/2⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
     أ - بيّن أنّ ⁦A = 2x - 4⁩
     ب - أحسب القيمة العدديّة للعبارة ⁦A⁩ في كلّ من الحالتين التاليتين : ⁦x = 0⁩ و ⁦x = -1⁩
     ج - حلّ في ⁦IR⁩ المتراجحة ⁦2x - 4 ≤ 0⁩ ثمّ مثّل مجموعة حلولها على مستقيم مدرّج.

3. لتكن العبارة ⁦B⁩ = (⁦2x - 4⁩)(⁦2x⁩ +

4. • ⁦x⁩(⁦2x⁩ -

5. حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
   أ - فكّك العبارة ⁦B⁩ إلى جداء عوامل
   ب - استنتج أنّ ⁦B = 2⁩(⁦x - 2⁩)(⁦3x + 2⁩)
   ج - حلّ في ⁦IR⁩ المعادلة (⁦x - 2⁩)(⁦3x⁩ +

6. = 0

التَّمْرِينُ الثَّانِي : (4 نقاط)

1. نعتبر العدد الحقيقي ⁦a⁩ = √50 - √8(√⁦2 + 1⁩)
   أ - بيّن أن ⁦a = 3⁩√⁦2 - 4⁩
   ب - قارن بين العددين 4 و 3√2
   ج - استنتج أنّ ⁦a⁩ عدد موجب

2. نعتبر العددين الحقيقيين ⁦x = 7⁩/(√2 +

3. و ⁦y = 1⁩/(√⁦2 - 1⁩)
   أ - بيّن أنّ ⁦x - y = 2a⁩
   ب - استنتج مقارنة العددين ⁦x⁩ و ⁦y⁩

التَّمْرِينُ الثَّالِثُ : (4 نقاط)
(

التمرين الثالث : (4 نقاط) (وحدة قيس الطّول هي الصّنتمتر)
[شكل: رسم لمكعّب ⁦ABCDEFGH⁩ برؤوس ظاهرة ⁦A⁩ أسفل اليمين، ⁦B⁩ أسفل اليسار، ⁦C⁩ وسطه، ⁦D⁩ يمين ⁦C⁩، ⁦E⁩ أعلى ⁦D⁩، ⁦F⁩ أعلى ⁦C⁩، ⁦G⁩ أعلى ⁦B⁩، ⁦H⁩ أعلى ⁦A⁩؛ على الحرف ⁦AF⁩ نقطة ⁦M⁩ وعلى الحرف ⁦AE⁩ نقطة ⁦N⁩ مع رسم القطعة ⁦MN⁩]
يمثّل الشكل المقابل مكعّبا ⁦ABCDEFGH⁩ قيس طول حرفه ⁦5 cm⁩ و ⁦M⁩ نقطة من [⁦AE⁩] و ⁦N⁩ نقطة من [⁦AF⁩] حيث : ⁦AM = 3⁩ و (⁦EF⁩) // (⁦MN⁩)

1. أحسب ⁦AG⁩

2. أ - بيّن أنّ ⁦AF = 5⁩√2
   ب - بيّن أنّ ⁦AN/AF = AM/AE⁩
   ج - استنتج ⁦AN⁩

3. أحسب ⁦DN⁩

وحدة قيس الطّول هي الصّنتمتر )

1. أ - أرسم قطعة مستقيم [⁦AB⁩] حيث ⁦AB = 8⁩ وعيّن منتصفها النقطة ⁦O⁩ .
   ب - ابن ∆ الموسّط العمودي للقطعة [⁦AB⁩]
   ج - عيّن نقطة ⁦P⁩ على المستقيم ∆ حيث ⁦OP = OA⁩
2. أ - أحسب ⁦AP⁩
   ب - بيّن أنّ المثلّث ⁦PAB⁩ قائم الزاوية ومتقايس الضلعين .
   ج - لنكن 𝒞 الدائرة الّتي قطرها [⁦AB⁩] .
   بيّن أنّ ⁦P⁩ تنتمي إلى 𝒞 .
3. المستقيم المارّ من ⁦O⁩ والموازي لـ (⁦AP⁩) يقطع (⁦PB⁩) في نقطة ⁦M⁩
   أ - بيّن أنّ ⁦M⁩ منتصف [⁦BP⁩]
   ب - أحسب ⁦OM⁩
4. المستقيمان (⁦AM⁩) و ∆ يتقاطعان في نقطة ⁦G⁩
   أ - بيّن أنّ ⁦G⁩ هي مركز ثقل المثلّث ⁦ABP⁩
   ب - المستقيم المارّ من ⁦M⁩ والعمودي على (⁦AB⁩) يقطع (⁦AP⁩) في نقطة ⁦H⁩ .
   بيّن أنّ ⁦AP/AH = 2/3⁩
   ج - استنتج ⁦AH⁩
5. المستقيم (⁦AM⁩) يقطع الدائرة 𝒞 في نقطة ثانية ⁦N⁩
   أ - أثبت أنّ ⁦H⁩ هي المركز القائم للمثلّث ⁦ABM⁩
   ب - بيّن أنّ النقاط ⁦B⁩ و ⁦N⁩ و ⁦H⁩ على استقامة واحدة.