موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2011

التمرين الأول (4 نقاط) :
يلي كلّ سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة. اكتب على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.
1- العدد 3^⁦2009 + 3⁩^2011 يقبل القسمة على :
أ) 15

ب) 12

ج) 21
2- العدد ⁦6b87a⁩ حيث ⁦a⁩ و ⁦b⁩ رقمان، يقبل القسمة على 12 إذا كان :
أ) ⁦a = 2⁩ و ⁦b = 3⁩

ب) ⁦a = 8⁩ و ⁦b = 4⁩

ج) ⁦a = 6⁩ و ⁦b = 0⁩
3- ليكن ⁦ABCD⁩ متوازي الأضلاع مركزه النقطة ⁦I⁩. إحداثيات النقطة ⁦I⁩ في المعين (⁦C⁩,⁦A⁩,⁦D⁩) هي الزوج :
أ) (0, ⁦1/2⁩)

ب) (⁦1/2⁩,

ج) (⁦1/2⁩, ⁦1/2⁩)
4- لتكن ⁦A⁩ و ⁦B⁩ نقطتان من مستقيم مدرج فاصلتاهما −√2 و −2 فإنّ البعد ⁦AB⁩ يساوي :
أ) 2 + √2

ب) 2 − √2

ج) 2√2

التمرين الثاني (4 نقاط) :
نعتبر العددين : ⁦a⁩ = (√⁦3 + 2⁩)² و ⁦b = 3⁩√18 - √⁦32 + 7⁩
1- أ- بيّن أنّ ⁦a = 7 + 4⁩√3 و أنّ ⁦b = 7 + 5⁩√2.
ب- قارن العددين 4√3 و 5√2 ثم استنتج مقارنة للعددين ⁦a⁩ و ⁦b⁩.
2- نعتبر العدد ⁦c = 7 - 4⁩√3
أ- بيّن أنّ العددين ⁦a⁩ و ⁦c⁩ مقلوبان.
ب- استنتج أنّ ⁦bc > 1⁩.
3- بيّن أنّ العدد ⁦2 + c/a + a/c⁩ √ هو عدد صحيح طبيعي.

التمرين الثالث (4 نقاط) :
نعتبر العبارة ⁦A = x² - 30x + 216⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي
1- احسب القيمة العددية للعبارة ⁦A⁩ في كل من الحالتين التاليتين :
أ) ⁦x = 15⁩
ب) ⁦x = 12⁩
2- أ- انشر واختصر العبارة (⁦15 - x⁩)².
ب- استنتج أنّ : ⁦A⁩ = (⁦x - 15⁩)² - 9.
ج- فكّك العبارة ⁦A⁩ إلى جداء عوامل.
د- حلّ في ⁦IR⁩ المعادلة ⁦A = 0⁩.

3- (وحدة قيس الطول هي المتر)
في هذا السؤال نريد البحث عن بعدي مستطيل محيطه 60 م ومساحته 216 م².
أ- ليكن ⁦a⁩ أحد أبعاد هذا المستطيل، تحقق أنّ (⁦30 − a⁩) هو البعد الثاني.
ب- بين أنّ ⁦a⁩ هو حلّ للمعادلة ⁦x² − 30x + 216 = 0⁩.
ج- استنتج إذن بعدي المستطيل.

التمرين الرابع (4 نقاط) :
(وحدة قيس الطول هي الصنتنمر)
في الشكل المقابل :
(⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩) معين متعامد حيث ⁦OI = OJ = 1⁩
⁦A⁩ و ⁦B⁩ نقطتان من المستوي.
[شكل: معيّن متعامد (⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩)؛ النقطة ⁦B⁩ على محور الفواصل عند 5، والنقطة ⁦A⁩ فوقها بحيث ترتيبها 3 (خطّ متقطّع من ⁦A⁩ إلى التدريج 3 على محور التراتيب ومن ⁦A⁩ إلى ⁦B⁩)]
1- بقراءة للشكل :
أ- حدّد إحداثيات النقطتين ⁦A⁩ و ⁦B⁩.
ب- أوجد البعدين ⁦IB⁩ و ⁦AB⁩.
2- أحسب البعد ⁦IA⁩.
3- ابن النقطة ⁦D⁩ من [⁦IA⁩] بحيث ⁦IA = 3 ID⁩.
4- لتكن ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦D⁩ على (⁦IB⁩)
أ- بين أنّ : ⁦DH/AB = ID/IA = IH/IB = 1/3⁩.
ب- استنتج أنّ ⁦IH = 4/3⁩ و ⁦DH = 1⁩.
5- أوجد إحداثيات النقطة ⁦D⁩ في المعين (⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩).

التمرين الخامس (4 نقاط) :
(وحدة قيس الطول هي الصنتنمر)
1- أ- ابن مثلثا ⁦ABC⁩ حيث ⁦AB = 4⁩ و ⁦AC = 3⁩ و ⁦BC = 5⁩.
ب- بيّن أنّ المثلث ⁦ABC⁩ قائم الزاوية.
2- لتكن ⁦I⁩ منتصف [⁦AB⁩] و ⁦J⁩ منتصف [⁦BC⁩] و ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦A⁩ على المستقيم (⁦BC⁩).
أ- احسب ⁦AH⁩ و ⁦CH⁩
ب- بيّن أنّ ⁦IH = 2⁩
3- المستقيمان (⁦AC⁩) و (⁦IH⁩) يتقاطعان في النقطة ⁦E⁩.
أ- بيّن أنّ ⁦HE/HI = HC/HJ⁩
ب- استنتج البعد ⁦HE⁩
4- المستقيم المار من ⁦A⁩ والموازي لـ (⁦BC⁩) يقطع (⁦IJ⁩) في ⁦K⁩.
بيّن أنّ الرباعي ⁦AKBJ⁩ معين ثمّ احسب مساحته.

[شكل: معين متعامد (⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩) بمحورين متعامدين، على محور الفواصل التقطيع 1 و 5 والنقطتان ⁦I⁩ و ⁦B⁩، على محور الأراتيب التقطيع 1 و 3 والنقطة ⁦J⁩، مع النقطة ⁦A⁩ ذات الإحداثيتين (1,3) تقريباً والقطعة المتقطعة من ⁦A⁩ إلى ⁦B⁩ العمودية على محور الفواصل]