موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2003

التَّمْرِينُ الأوَّلُ : (4 نقاط)

1. نعتبر العبارة ⁦A = 3x + 2⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي .
   أ- أحسب القيمة العددية للعبارة ⁦A⁩ في كلّ من الحالتين التاليتين : ⁦x = 2⁩ و ⁦x = -1/2⁩ .
   ب- حُلَّ في ⁦IR⁩ المتراجحة ⁦3x + 2 ≥ 0⁩ ومثّل بمجموعة حلولها على مستقيم مدرّج .

2. نعتبر العبارة ⁦B⁩ = (⁦x - 1⁩)² + ⁦x⁩ (⁦2x⁩ +

3. • 1 حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي .
     أ- انشر واختصر العبارة ⁦B⁩ .
     ب- استنتج أنَّ ⁦B = x⁩ (⁦3x⁩ +

4. .
   ج- حُلَّ في ⁦IR⁩ المعادلة ⁦x⁩ (⁦3x⁩ +

5. = 0 .

التَّمْرِينُ الثاني : (4 نقاط)

1. نعتبر العدد الحقيقي : ⁦a⁩ = √125 - √⁦20 - 1⁩ .
   أ- بيِّن أنَّ ⁦a = 3⁩√⁦5 - 1⁩ .
   ب- أثبت أنَّ ⁦a⁩ عدد موجب .
2. ليكن العدد الحقيقي ⁦b = 6 + 4⁩√5 .
   أ- أحسب ⁦a b⁩ .
   ب- بيِّن أنَّ (⁦b - a⁩)² = ⁦a b⁩ .
   ج- استنتج أنَّ : ⁦1/b - 1/a = 1⁩/(⁦b - a⁩) .

التَّمْرِينُ الثالث : (4 نقاط)

ليكن (⁦O⁩, ⁦I⁩, ⁦J⁩) معيّنا في المستوي حيث (⁦OI⁩) عمودي على (⁦OJ⁩) و ⁦OI = OJ = 1⁩ .

1. أ- أرسم النقاط ⁦A⁩ (3,0) و ⁦B⁩ (-2,3) و ⁦C⁩ (2,-3) .
   ب- أثبت أنَّ ⁦O⁩ منتصف [⁦B C⁩] .

2. المستقيم المار من ⁦B⁩ والموازي لـ (⁦OI⁩) يقطع (⁦OJ⁩) في نقطة ⁦K⁩ ويقطع (⁦CA⁩) في نقطة ⁦M⁩ .
   أ- ما هي إحداثيات النقطة ⁦K⁩ ؟
   ب- بيّن أنّ ⁦BM = 6⁩ .
   ج- ما هي إحداثيات النقطة ⁦M⁩ ؟

المسألة : (8 نقاط)
(

المسألة : (8 نقاط) (وحدة قيس الطول هي السنتمتر)
نعتبر قطعة المستقيم [⁦BC⁩] حيث ⁦BC = 8⁩ ، لتكنّ ⁦O⁩ النقطة منتصف [⁦BC⁩] .

1. أ- أُرسم المستقيم Δ الموسّط العمودي لـ [⁦BC⁩] .
   ب- عيّن على Δ نقطة ⁦A⁩ بحيث ⁦OA = 3⁩ .
   ج- أحسب ⁦AB⁩ .
2. لتكن ⁦E⁩ صورة النقطة ⁦B⁩ بالتناظر المركزي الذي مركزه ⁦A⁩ .
   أ- بيّن أنّ المستقيمين (⁦OA⁩) و (⁦EC⁩) متوازيان . أحسب ⁦CE⁩ .
   ب- استنتج أنّ (⁦EC⁩) عمودي على (⁦BC⁩) .
3. لتكن 𝒞 الدائرة التي قطرها [⁦BC⁩] .
   𝒞 تقطع (⁦AB⁩) في نقطة ثانية ⁦D⁩ .
   أ- بيّن أنّ ⁦CD × BE = CE × CB⁩ .
   ب- استنتج أنّ ⁦CD = 4,8⁩ .
4. أ- بيّن أنّ ⁦ED = 3,6⁩ .
   ب- استنتج ⁦AD⁩ .
5. المستقيمان Δ و (⁦CD⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦F⁩ .
   أ- بيّن أنّ ⁦AF/EC = DA/DE⁩ .
   ب- استنتج ⁦AF⁩ .