موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2008

التَّمْرِينُ الأَوَّلُ : (4 نِقَاطٌ)
(1) نعتبر العبارة ⁦A = 5⁩(⁦x-1⁩)-3(⁦x-2⁩) حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
أ - بيّن أنّ ⁦A = 2x+1⁩
ب - احسب القيمة العدديّة للعبارة ⁦A⁩ في كلّ من الحالتين التاليتين : ⁦x = 0⁩ و ⁦x = 1/2⁩
ج - حُلَّ في ⁦IR⁩ المتراجحة ⁦2x+1 ≥ 0⁩
(2) لتكن العبارة ⁦B = 4x²-1⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
أ - بيّن أنّ ⁦B⁩ = (⁦2x+1⁩)(⁦2x-1⁩)
ب - فكّك إلى جداء عوامل العبارة (⁦2x+1⁩)(⁦2x-1⁩) + (⁦2x+1⁩)
ج - حُلَّ في ⁦IR⁩ المعادلة ⁦2x⁩(⁦2x+1⁩) = 0

التَّمْرِينُ الثَّانِي : (4 نِقَاطٌ)
(1) نعتبر العدد الحقيقي ⁦a = 2⁩√5(√⁦5-1⁩)-4
أ - بيّن أنّ ⁦a = 6-2⁩√5
ب - قارن بين العددين 6 و 2√5
ج - استنتج أنّ ⁦a⁩ عدد موجب
(2) بيّن أنّ ⁦a⁩ = (√⁦5-1⁩)²
(3) ليكن العدد الحقيقي ⁦b⁩ = √245 - √45
أ - بيّن أنّ ⁦b = 4⁩√5
ب - بيّن أنّ (⁦b-a⁩)/(√⁦5-1⁩) عدد صحيح طبيعي

التَّمْرِينُ الثَّالِثُ : (4 نِقَاطٌ)
(وحدة قيس الطّول هي الصّنتمتر)
ليكن (⁦O⁩, ⁦I⁩, ⁦J⁩) معيّنا في المستوي حيث (⁦OI⁩) ⊥ (⁦OJ⁩) و ⁦OI = OJ⁩
(1)

أ - أرسم النّقاط ⁦A⁩(1,

3. و ⁦B⁩(-1,

4. و ⁦C⁩(-1, -3)
   ب - بيّن أنّ النّقطتين ⁦A⁩ و ⁦B⁩ متناظرتان بالنسبة إلى (⁦OJ⁩)
   ج - بيّن أنّ النّقطتين ⁦A⁩ و ⁦C⁩ متناظرتان بالنسبة إلى النقطة ⁦O⁩

5. الـمستقيم (⁦AB⁩) يقطع (⁦OJ⁩) في نقطة ⁦H⁩
   أ - ما هي إحداثيات النقطة ⁦H⁩ ؟
   ب - ابن النقطة ⁦K⁩ حيث ⁦S⁩₀(⁦H⁩) = ⁦K⁩
   ج - حدّد إحداثيات النقطة ⁦K⁩

6. بيّن أنّ الرباعي ⁦AHCK⁩ متوازي الأضلاع

المسألة : (8 نقاط)
( وحدة قيس الطّول هي الصّنتمتر )

1. أ - أرسم مربّعا ⁦ABCD⁩ قيس ضلعه 6 ثمّ عيّن مركزه ⁦O⁩
   ب - أحسب ⁦AC⁩
2. لنكن النقطة ⁦I⁩ منتصف [⁦BC⁩]
   أ - بيّن أنّ ⁦DI = 3⁩√5
   ب - المستقيمان (⁦AC⁩) و (⁦DI⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦J⁩
   بيّن أنّ النقطة ⁦J⁩ هي مركز ثقل المثلّث ⁦BCD⁩
   ج - إستنتج أنّ ⁦DJ = 2⁩√5
3. الدّائرة 𝒞 ألّي قطرها [⁦BI⁩] تقطع المستقيم (⁦BD⁩) في نقطة ثانية ⁦K⁩
   أ - ما هيّ طبيعة المثلّث ⁦KBI⁩ ؟
   ب - بيّن أنّ المستقيمين (⁦IK⁩) و (⁦AC⁩) متوازيان.
   ج - إستنتج أنّ ⁦K⁩ منتصف [⁦BO⁩]
4. المستقيمان (⁦IK⁩) و (⁦CD⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦H⁩
   أ - بيّن أنّ ⁦DH/DC = DI/DJ⁩
   ب - إستنتج ⁦DH⁩
   ج - بيّن أنّ ⁦H⁩ هي المركز القائم للمثلّث ⁦DBI⁩
5. المستقيم (⁦DI⁩) يقطع الدّائرة 𝒞 في نقطة ثانية ⁦E⁩
   بيّن أنّ النقاط ⁦B⁩ و ⁦E⁩ و ⁦H⁩ على استقامة واحدة.

2