موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2001

التَّمْرِينُ الأوَّلُ : (4 نقاط)
(1) نعتبر العبارة ⁦A = x-2⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي .
أ- أحسب القيمة العددية للعبارة ⁦A⁩ في كلّ من الحالتين التاليتين : ⁦x = 1⁩ و ⁦x = 1/2⁩
ب- أوجد حَصْرًا مَدَاهُ 4 للعبارة ⁦A⁩ إذا علمت أنَّ : -⁦1 ≤ x ≤ 3⁩
(2) نعتبر العبارة ⁦B = x²-4⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي .
أ- فكِّكْ إلى جداء عوامل العبارة ⁦B⁩ .
ب- استنتج تفكيكا إلى جداء عوامل للعبارة ⁦A+B⁩
(3) حل في ⁦IR⁩ المعادلة (⁦x-2⁩)(⁦x+3⁩) = 0

التَّمْرِينُ الثاني : (3 نقاط)
نعتبر العددين الحقيقيين :
⁦b = 6⁩√2 - √⁦18 + 1⁩ و ⁦a⁩ = √3(2+√3)-2
(1) بيّن أن ⁦a = 1+2⁩√3 و ⁦b = 1+3⁩√2
(2) أ- قارن بين العددين 3√2 و 2√3
ب- أثبت أن ⁦1 < a < b⁩
ج- استنتج ترتيبا للأعداد ⁦1/a⁩ و ⁦1/b⁩ و 1

التَّمْرِينُ الثالث : (5 نقاط)
يمثّل الرَّسم التَّالي مستقيمًا مدرَّجا بالمعيّن (⁦O⁩,⁦I⁩) حيث ⁦OI = 1⁩ بحساب الصّنتيمتر
[شكل: مستقيم مدرّج بتدريجات متساوية طول كلّ منها 1 صم؛ النقطة ⁦A⁩ على التدريج الثاني يسار ⁦O⁩، ثمّ ⁦O⁩، ثمّ ⁦I⁩ على التدريج الأوّل يمين ⁦O⁩، ثمّ ⁦B⁩ على التدريج الثالث يمين ⁦O⁩]

1. حدّد فاصلة كلّ من النقاط ⁦O⁩ و ⁦I⁩ و ⁦A⁩ و ⁦B⁩ .
2. انقل الرسم على ورقة تحريرك .
3. لتكن ⁦D⁩ منتصف القطعة [⁦AB⁩] . حدّد فاصلة النقطة ⁦D⁩ .
4. أ- ابنِ النقطة ⁦M⁩ من قطعة المستقيم [⁦AB⁩] بحيث $AM=\frac{2}{3}AB$ .
   ب- أحسب البعد ⁦AM⁩ واستنتج فاصلة النقطة ⁦M⁩ .

المسألـــة : (8 نقاط)

(وحـــدة القيـــس هي الصنتيمتـــر)

يقع إنجاز كل الرسوم المطلوبة لإتمام
الشكل على الورقة المصاحبة (الورقة رقم 3)
التي تسلم مع أوراق التحرير.

يمثّل الشكل في الورقة المصاحبة (الورقة رقم 3) دائرة 𝒞 مركزها ⁦O⁩ وشعاعها 4
و [⁦BC⁩] قطرٌ لها و (⁦AH⁩) الموسّط العمودي للقطعة [⁦OB⁩] حيث ⁦A⁩ تنتمي
إلى الدائرة 𝒞 و ⁦H⁩ تنتمي إلى المستقيم (⁦BO⁩).

1. أ- علّلْ أنّ ⁦AB = AO⁩ واستنتجْ أن ⁦AB = 4⁩ .
   ب- بيّنْ أنّ المثلّث ⁦OAB⁩ متقايس الأضلاع و استنتجْ أن ⁦ABC = 60°⁩
   ج- احسب البعد ⁦AH⁩.
2. أ- بيّن أنّ المثلّث ⁦ABC⁩ قائم الزاوية في ⁦A⁩ .
   ب- بيّنْ أنّ ⁦AC = 4⁩√3 .
3. لنكن ⁦I⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦H⁩ على المستقيم (⁦AC⁩) .
   بيّن أنّ ⁦CH/CB = CI/CA⁩ ثمّ استنتجْ البعد ⁦CI⁩.
4. المستقيم (⁦AH⁩) يقطع الدائرة 𝒞 في نقطة ثانية ⁦D⁩ .
   بيّن أنّ الرباعي ⁦OABD⁩ معيّن .
5. أ- أثبت أن ⁦CAD = 60°⁩
   ب- بيّن أنّ المثلّث ⁦ACD⁩ متقايس الأضلاع .
   ج- استنتجْ أنّ المستقيم (⁦AO⁩) عمودي على المستقيم (⁦CD⁩) .

[شكل: دائرة مركزها ⁦O⁩ وقطرها [⁦BC⁩]، ونقطتان ⁦A⁩ على الدائرة والمستقيم العمودي على (⁦BC⁩) في ⁦H⁩ يقطع الدائرة في نقطتين، مع علامة الزاوية القائمة في ⁦H⁩ ورمز الدائرة ℯ]

يرجع المقترح هذه الورقة مع تحريره .