موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2006

التَّمْرِينُ الأوَّلُ : (4 نقاط)

1. نعتبر العبارة ⁦A = 3x - 2⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
   أ - أُحسب القيمة العدديّة للعبارة ⁦A⁩ في كل من الحالتين التاليتين : ⁦x = 1⁩ و ⁦x = 1/2⁩
   ب - حلّ في ⁦IR⁩ المتراجحة ⁦3x - 2 ≥ 0⁩

2. لتكن العبارة ⁦B = 6x² - 13x + 6⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
   أ - بيّن أنّ ⁦B⁩ = (⁦3x - 2⁩)(⁦2x - 3⁩)
   ب - استنتج أنّ ⁦B - A = 2⁩(⁦3x - 2⁩)(⁦x - 2⁩)
   ج - حُلّ في ⁦IR⁩ المعادلة (⁦3x - 2⁩)(⁦x⁩ -

3. = 0

التَّمْرِينُ الثَّانِي : (4 نقاط)

1. نعتبر العدد ⁦a = 2⁩√⁦75 - 4⁩√12
   بيّن أنّ ⁦a = 2⁩√3

2. نعتبر العدد ⁦b = 2⁩ + √3
   أ - قارن بين العددين ⁦a⁩ و ⁦b⁩
   ب - بيّن أنّ 2 - √3 هو مقلوب العدد ⁦b⁩
   ج - بيّن أنّ 2-√⁦3 < 1⁩/(2√3)

التَّمْرِينُ الثَّالِثُ : (4 نقاط)

ليكن (⁦O⁩, ⁦I⁩, ⁦J⁩) معيّنا في المستوي حيث (⁦OI⁩) ⊥ (⁦OJ⁩) و ⁦OI = OJ⁩

أ - أرسم النقطتين ⁦A⁩(-2 ,

3. و ⁦B⁩(2 , 3)
   ب - بيّن أنّ النقطتين ⁦A⁩ و ⁦B⁩ متناظرتان بالنسبة إلى (⁦OJ⁩)

4. أ – أرسم النقطة ⁦D⁩ مناظرة النقطة ⁦A⁩ بالنسبة إلى النقطة ⁦O⁩
   ب – حدّد إحداثيّات النقطة ⁦D⁩

5. أ – عيّن النقطة ⁦C⁩ بحيث يكون الرّباعي ⁦OBCD⁩ متوازي الأضلاع.
   ب – ما هي إحداثيّات النقطة ⁦C⁩ ؟
   ج – بيّن أن ⁦OBCD⁩ معيّن.

المسألة : ( 8 نقاط )
( وحدة قيس الطّول هي الصّنتمتر )

1. أ – أرسم مستطيلا ⁦ABCD⁩ بحيث ⁦AB = 9⁩ و ⁦AD = 3⁩
   ب – أحسب ⁦AC⁩
2. أ – أرسم النقطة ⁦F⁩ من [⁦AB⁩] بحيث ⁦BC = BF⁩
   ب – بيّن أنّ الزّاويتين ⁦BFC⁩ و ⁦BCF⁩ متقايستان.
3. أ – أرسم النقطة ⁦E⁩ من [⁦CD⁩] بحيث ⁦AF = CE⁩
   ب – بيّن أنّ الرّباعي ⁦AECF⁩ متوازي الأضلاع.
4. لتكن النقطة ⁦H⁩ المسقط العمودي للنقطة ⁦F⁩ على (⁦CD⁩)
   أ – بيّن أنّ الرّباعي ⁦BCHF⁩ مربّع.
   ب – أحسب ⁦HC⁩ و ⁦EC⁩ ، ثمّ استنتج أنّ ⁦H⁩ منتصف [⁦EC⁩]
   ج – بيّن أنّ المثلّث ⁦EFC⁩ متقايس الضّلعين وقائم الزّاوية في ⁦F⁩
5. المستقيمان (⁦AC⁩) و (⁦FH⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦M⁩
   أ – بيّن أنّ ⁦CM/CA = CH/CD⁩
   ب – أحسب ⁦CM⁩
6. المستقيمان (⁦EF⁩) و (⁦BC⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦K⁩
   بيّن أنّ ⁦F⁩ هي مركز ثقل المثلّث ⁦ACK⁩