موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2026

التمرين الأوّل : (03 نقاط)
يلي كلّ سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاثة مقترحات، أحدها فقط يمثّل الإجابة الصحيحة.
أنقل، في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصّحيحة الموافقة له.

1. مجموعة حلول المتراجحة −⁦2x + 3 < 3 + x⁩ هي :
   أ) ]-∞, 0[

ب) ]0, +∞[

ج) ]-⁦1/3⁩, +∞[

2. العدد ⁦4×49⁩^{1013} - 7^{2028} يقبل القسمة على :
   أ) 15

ب) 12

ج) 6

3. ليكن (⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩) معيّنا متعامدا في المستوي. نعتبر النقطتين ⁦A⁩(√2, (2-√2)/√2) و ⁦B⁩(-√2, 1-√2).
   النقطتان ⁦A⁩ و ⁦B⁩ متناظرتان بالنسبة إلى
   أ) (⁦OI⁩)

ب) (⁦OJ⁩)

ج) ⁦O⁩

التمرين الثاني : (03.5 نقاط)
نعتبر العددين الحقيقيّين ⁦a⁩ = ((√3-√7)² + √⁦21 - 7⁩)/6 و ⁦b⁩ = |⁦3/2⁩ - √⁦21/3⁩| + 2 - √⁦21/6⁩.

1. أ) بيّن أنّ ⁦3/2⁩ < √⁦21/3⁩.
   ب) استنتج أنّ ⁦b⁩ = (3+√21)/6.

2. أ) بيّن أنّ ⁦a⁩ = (3-√21)/6.
   ب) بيّن أنّ ⁦3a² - 3a = 1⁩ ثمّ استنتج أنّ ⁦3a⁩ هو مقلوب (⁦a-1⁩).

3. أ) بيّن أنّ ⁦a = 1 - b⁩ ثمّ استنتج أنّ ⁦3a²⁩ = (⁦1-b⁩)/(⁦a-1⁩).
   ب) بيّن أنّ √(⁦1/3⁩((⁦1-b⁩)/(⁦a-1⁩)) - ⁦2a⁩ +

4. = (3+√21)/6.

التمرين الثالث : (04.5 نقاط) (وحدة قيس الطول هي السنتمتر).
نعتبر العبارة ⁦A = x² - 12x + 16⁩.

1. احسب ⁦A⁩ في حالة ⁦x = 6 + 2⁩√5.

2. أ) بيّن أنّ ⁦A⁩ = (⁦x-6⁩)² - 20.
   ب) استنتج أنّ ⁦A⁩ = (⁦x - 6 - 2⁩√5)(⁦x - 6 + 2⁩√5).
   ج) حلّ في ℝ المعادلة ⁦A = 0⁩.

3. أثبت أنّ 3 < √⁦5 < 2⁩ ثمّ استنتج حصرا لـ (⁦6 - 2⁩√5).

4. ليكن ⁦a⁩ عددا حقيقيا حيث $a\in ]0,4[$ . في الرسم المقابل لدينا :
   • ⁦ABCD⁩ مربع حيث ⁦AB = 4⁩ و ⁦M⁩ نقطة من [⁦AB⁩] حيث ⁦AM = a⁩ .
   • ⁦N⁩ نقطة من [⁦CD⁩] حيث ⁦AMCN⁩ متوازي أضلاع.
   • المستقيم (⁦CM⁩) يقطع (⁦AD⁩) في نقطة ⁦P⁩ .
   بيّن أن $\frac{DP}{DA}=\frac{DC}{DN}$ ثم استنتج أن $DP=\frac{16}{4-a}$ .

5. نعتبر $S_1$ مساحة المثلث ⁦PMD⁩ و $S_2$ مساحة المثلث ⁦CMB⁩ .
   أ) بيّن أن $S_1=\frac{8a}{4-a}$ و $S_2=2(4-a)$ .
   ب) أوجد القيمة العددية لـ ⁦a⁩ حيث $S_1=S_2$ .

[شكل: رسم لمربع ⁦ABCD⁩ فيه ⁦M⁩ على [⁦AB⁩] و ⁦N⁩ على [⁦CD⁩] والمستقيم (⁦CM⁩) يقطع امتداد (⁦AD⁩) في ⁦P⁩]

التمرين الرابع : 05 نقاط) (وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر).
في الرسم المقابل لدينا :
• ⁦ABC⁩ مثلث متقايس الضلعين وقائم في ⁦A⁩ حيث ⁦AB = 6⁩ .
• النقطة ⁦I⁩ منتصف [⁦AB⁩] و النقطة ⁦O⁩ منتصف [⁦BC⁩] .
• المستقيمان (⁦IC⁩) و (⁦AO⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦G⁩ .
• الدائرة (ζ) التي قطرها [⁦BI⁩] تقطع (⁦BC⁩) في نقطة ثانية ⁦K⁩ .

1. أ) بيّن أن $BC=6\sqrt{2}$ .
   ب) بيّن أن $CI=\frac{3}{2}CG$ .
2. أ) بيّن أنّ المستقيمين (⁦IK⁩) و (⁦AO⁩) متوازيان.
   ب) بيّن أن $\frac{CK}{CO}=\frac{CI}{CG}$ ثم استنتج أنّ $CK=\frac{9\sqrt{2}}{2}$ .
3. المستقيمان (⁦IK⁩) و (⁦AC⁩) يتقاطعان في نقطة ⁦H⁩ .
   المستقيم (⁦IC⁩) يقطع الدائرة (ζ) في نقطة ثانية ⁦E⁩ .
   أ) بيّن أنّ النقطة ⁦H⁩ هي المركز القائم للمثلث ⁦IBC⁩ .
   ب) استنتج أنّ النقاط ⁦H⁩ و ⁦E⁩ و ⁦B⁩ على استقامة واحدة.
4. أ) بيّن أنّ المثلث ⁦HKC⁩ متقايس الضلعين وقائم في ⁦K⁩ .
   ب) احسب مساحة المثلث ⁦BCH⁩ .
   ج) بيّن أنّ $BH=3\sqrt{5}$ ثم استنتج أنّ $CE=\frac{18\sqrt{5}}{5}$ .

[شكل: مثلث ⁦ABC⁩ قائم في ⁦A⁩ (⁦A⁩ أسفل اليسار، ⁦B⁩ أسفل اليمين، ⁦C⁩ أعلى اليسار)؛ ⁦I⁩ منتصف [⁦AB⁩] و ⁦O⁩ منتصف [⁦BC⁩]، والقطعتان [⁦CI⁩] و [⁦AO⁩] تتقاطعان في ⁦G⁩؛ الدائرة (ζ) قطرها [⁦BI⁩] تقطع [⁦BC⁩] في ⁦K⁩]

التمرين الخامس : (04 نقاط) (وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر).
نعتبر متوازي المستطيلات ⁦ABCDEFGH⁩ حيث ⁦AB = 4,8⁩ و ⁦BC = 10⁩ و ⁦BF = 6⁩ .
لتكن ⁦S⁩ نقطة من [⁦BC⁩] حيث ⁦SC = 3,6⁩ .

1. أ) بيّن أنّ ⁦SD = 6⁩ .
   ب) احسب ⁦SA⁩ ثم استنتج أنّ ⁦SAD⁩ مثلث قائم في ⁦S⁩ .
2. لتكن ⁦J⁩ نقطة من [⁦FG⁩] حيث ⁦SJGC⁩ مستطيل.
   أ) بيّن أنّ المستقيم (⁦DH⁩) عموديّ على المستقيم (⁦DS⁩) .
   ب) بيّن أنّ ⁦SJHD⁩ مربّع.
3. أ) بيّن أنّ المستقيم (⁦JS⁩) عموديّ على المستوي (⁦ABC⁩) .
   ب) استنتج أنّ المستقيم (⁦AS⁩) عموديّ على المستوي (⁦SJD⁩) .
4. احسب حجم الهرم ⁦ASJHD⁩ .

[شكل: متوازي مستطيلات: الوجه العلوي ⁦ABCD⁩ (⁦A⁩ و ⁦D⁩ في الخلف، ⁦B⁩ و ⁦C⁩ في الأمام)، والوجه السفلي ⁦EFGH⁩ (⁦E⁩ تحت ⁦A⁩، ⁦F⁩ تحت ⁦B⁩، ⁦G⁩ تحت ⁦C⁩، ⁦H⁩ تحت ⁦D⁩)؛ ⁦S⁩ على [⁦BC⁩]، والقطع [⁦AS⁩] و[⁦SD⁩]]