موضوع الرياضيات — مناظرة التاسعة، دورة 2020

يتكوّن الاختبار من 03 صفحات مرقّمة من ⁦1/3⁩ إلى ⁦3/3⁩.
الصفحة ⁦3/3⁩ مُلحق يُرجع مع أوراق التّحارير.

التمـرين الأوّل : 3 نقاط)
يلي كل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة.
أنقل، في كل مرّة، على ورقة تحرير رقم السّؤال والإجابة الصّحيحة الموافقة له.

1. إذا كان ⁦a⁩ و ⁦b⁩ عددين حقيقيين موجبين ومقلوبين حيث $a^2+b^2=\frac{5}{2}$ فإنّ $(a+b)$ يساوي :
   أ) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

ب) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

ج) $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 2) مهما يكن الرّقم ⁦b⁩ ومهما يكن الرّقم الفردي ⁦a⁩ فإنّ العدد ⁦5bababa4⁩ يقبل القسمة على :
أ) 6

ب) 12

ج) 15 3) العدد الحقيقي $\sqrt{{\left(3-2\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(4-2\sqrt{3}\right)}^2}$ يساوي :
أ) $7+4\sqrt{3}$

ب) $7-4\sqrt{3}$

ج) 1

التمـرين الثاني : 4,5 نقاط)
نعتبر العددين الحقيقيين $a=3{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2-7\left(1-\sqrt{3}\right)-6$ و $b=\frac{\sqrt{48}-\sqrt{12}+2}{4}$
أ) بيّن أنّ $a=\sqrt{3}-1$ و $b=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
ب) بيّن أنّ العددين ⁦a⁩ و ⁦b⁩ مقلوبان.
ج) أحسب العبارة $\left(2a^{2019}\times b^{2020}-a^{2020}\times b^{2019}\right)$
(وحدة قيس الطول هي الصّنتمتر).
في الرّسم المقابل لدينا :
● $\mathcal{C}$ نصف دائرة مركزها ⁦O⁩ وقطرها [⁦BC⁩] حيث ⁦BC = 4⁩
● النّقطة ⁦H⁩ منتصف [⁦OC⁩]
● المستقيم المار من ⁦H⁩ والعمودي على المستقيم (⁦BC⁩) يقطع $\mathcal{C}$ في النّقطة ⁦A⁩
● ⁦K⁩ نقطة من قطعة المستقيم [⁦AH⁩] حيث ⁦AK = 1⁩
أ) بيّن أنّ المثلّث ⁦ABC⁩ قائم الزاوية في ⁦A⁩
ب) أحسب البعد ⁦AH⁩ ثمّ إستنتج أنّ $HK=\sqrt{3}-1$
ج) لتكن ⁦J⁩ نقطة من قطعة المستقيم [⁦AH⁩] حيث ⁦HJ = 1⁩
المستقيم المار من النّقطة ⁦J⁩ والموازي للمستقيم (⁦OK⁩) يقطع المستقيم (⁦BC⁩) في النّقطة ⁦L⁩
بيّن أنّ $HL=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

[شكل: رسم هندسي يمثّل نصف دائرة $\mathcal{C}$ مركزها ⁦O⁩ وقطرها [⁦BC⁩] على استقامة أفقية، والنقطة ⁦H⁩ على [⁦OC⁩]، والمستقيم العمودي على (⁦BC⁩) في ⁦H⁩ يقطع القوس في ⁦A⁩، والنقطة ⁦K⁩ على [⁦AH⁩]، والمستقيم (⁦OK⁩) يصل ⁦O⁩ بـ ⁦K⁩]

⁦1/3⁩

التمرين الثالث: (3 نقاط)
نعتبر العبارتين ⁦A⁩ = (⁦x⁩ − √⁦2/2⁩)² و ⁦B = x²⁩ − √⁦2x + 1/4⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.

1. أ) أحسب العبارة ⁦A⁩ في حالة ⁦x⁩ = (√5 + √2)/2
   ب) أنشر العبارة ⁦A⁩
2. أ) بيّن أنّ ⁦A = B + 1/4⁩
   ب) فكّك العبارة ⁦B⁩ إلى جداء عوامل.
   ج) أحسب بطريقتين مختلفتين العبارة ⁦B⁩ في حالة ⁦x⁩ = (√5 + √2)/2

التمرين الرابع: 4,5 نقاط) (وحدة قيس الطّول هي السّنتمتر)
في الملحق المصاحب (الصفحة ⁦3/3⁩)، لدينا:
⁦A⁩(2√3 , 0) والنقطة ⁦OI = OJ = 1⁩ معيّن متعامد في المستوي حيث (⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩)
نعتبر النقاط ⁦B⁩(√3 , 3) و ⁦C⁩ حيث ⁦C⁩ مناظرة النقطة ⁦A⁩ بالنسبة إلى النقطة ⁦B⁩

1. أ) بيّن أنّ إحداثيات النقطة ⁦C⁩ في المعيّن (⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩) هي (0 , 6)
   ب) في الملحق المصاحب (الصفحة ⁦3/3⁩)، عيّن النقطة ⁦C⁩ ثمّ ابن النقطة ⁦B⁩
2. المستقيم المار من ⁦B⁩ والعمودي على المستقيم (⁦AC⁩) يقطع (⁦OJ⁩) في النقطة ⁦G⁩ و (⁦OI⁩) في النقطة ⁦D⁩
   أ) عيّن النقطتين ⁦G⁩ و ⁦D⁩
   ب) بيّن أنّ ⁦DA = DC⁩
3. لتكن ⁦x⁩ فاصلة النقطة ⁦D⁩ حيث ⁦x⁩ عدد حقيقي.
   أ) بيّن أنّ ⁦CD⁩ = |⁦x − 2⁩√3|
   ب) بيّن أنّ (⁦x − 2⁩√3)² = ⁦x² + 36⁩
4. إذا علمت أنّ ⁦x = −2⁩√3
   أ) بيّن أنّ إحداثيات النقطة ⁦G⁩ في المعيّن (⁦O⁩,⁦I⁩,⁦J⁩) هي (0 , 2)
   ب) استنتج البعد ⁦BG⁩

التمرين الخامس: (5 نقاط) (وحدة قيس الطّول هي السّنتمتر)
في الرّسم المقابل لدينا:
• ⁦ABCD⁩ مستطيل مركزه النقطة ⁦O⁩ حيث ⁦AB = 8⁩ و ⁦BC = 4⁩
• ⁦I⁩ نقطة من قطعة المستقيم [⁦CD⁩] حيث ⁦CI = 2⁩
• ⁦H⁩ نقطة تقاطع المستقيمين (⁦BI⁩) و (⁦AC⁩)

1. بيّن أنّ ⁦AC = 4⁩√5 و ⁦BI = 2⁩√5
2. أ) بيّن أنّ ⁦HI/HB = HC/HA = 1/4⁩
   ب) بيّن أنّ ⁦HB = 8⁩√⁦5/5⁩ و ⁦HC = 4⁩√⁦5/5⁩
   ج) استنتج أنّ المستقيمين (⁦BI⁩) و (⁦AC⁩) متعامدان.
3. لتكن النقطة ⁦J⁩ منتصف [⁦BC⁩] و ⁦K⁩ نقطة تقاطع المستقيمين (⁦BH⁩) و (⁦OJ⁩)
   المستقيمان (⁦CK⁩) و (⁦OB⁩) يتقاطعان في النقطة ⁦L⁩
   أ) بيّن أنّ المستقيمين (⁦CK⁩) و (⁦OB⁩) متعامدان.
   ب) أحسب مساحة المثلث ⁦CLB⁩

[شكل: مستطيل ⁦ABCD⁩ مركزه ⁦O⁩، قطراه [⁦AC⁩] و[⁦BD⁩]، النقطة ⁦I⁩ على [⁦CD⁩] والنقطة ⁦H⁩ تقاطع (⁦BI⁩) مع (⁦AC⁩)، مع تسميات الرؤوس ⁦A⁩ أسفل يسار، ⁦B⁩ أسفل يمين، ⁦C⁩ أعلى يمين، ⁦D⁩ أعلى يسار.]